4.2. Сравнение гистограмм эмпирического и теоретического распределения

Вид гистограммы на рис. 4.1 позволяет предположить, что распределение генеральной совокупности случайных значений тока мгновенного расцепления близко к нормальному. В частности можно даже предположить, например, что математическое ожидание этого распределения в точности равно середине интервала допускаемых значений, указанных на контрольном листке и стандартное отклонение этого гипотетического распределения в шесть раз меньше ширины поля допуска. Тогда математическое ожидание гипотетического распределения равно

$$m=\frac{200+100}{2}=150$$А$$,$$

а стандартное отклонение равно

$$\sigma=\frac{200-100}{6}\approx16{,}7$$А$$.$$

Анализируя выдвинутую гипотезу, следует сравнить теоретическое и эмпирическое распределения.

Наглядное сравнение теоретического и эмпирического распределения можно осуществить, если построить гистограмму частот, соответствующих выбранной гипотезе. Для этого следует рассчитать теоретические частоты попадания в те же интервалы, которые были выбраны на исходной гистограмме экспериментальных значений.

Этот расчет основан на том, что вероятность $p_{(a,b)}$ попадания случайной величины $\xi$ в интервал $(a,b)$ определяется разностью значений функции распределения на концах интервала [35]

$$p_{(a,b)}=\Pr\left\{a\le\xi<b\right\}=F_\xi(b)-F_\xi(a),$$

где запись  $\Pr\{\dots\}$ означает вероятность того события, которое записано в фигурных скобках.

В конкретной, рассматриваемой ситуации, когда принята гипотеза нормальности функции распределения с известным математическим ожиданием $m$ и известным стандартным отклонением $\sigma$, расчет может быть произведен с использованием таблиц нормального распределения [6] или с помощью компьютера, если в его программном обеспечении есть какие/либо электронные таблицы^4.2.

Для интервалов контрольного листка рис. 2.3, приведенных выше в табл. 4.1, результаты такого расчета представлены в табл. 4.2.

Таблица 4.2. Значения теоретического числа $n_t(i)$ попаданий в интервалы тока мгновенного расцепления от $a$ до $b$ для гипотетического нормального распределения с математическим ожиданием 150 А и стандартным отклонением 17 А

Теоретическая частота попадания в интервал при известном числе значений случайной величины $N$ определяется очевидным равенством

$$f_T=N\times p_{(a,b)}.$$

Совмещенные гистограммы теоретических и экспериментальных частот попадания в заданные интервалы представлены на рис. 4.2.

Рис.4.2. Гистограммы экспериментального распределения вероятностей токоа мгновенного расцепления и гипотетиеского нормального распределения с  $m=150$А и со стадартным отклонением  $17$А

Сравнение гистограмм рис. 4.2 позволяет надеяться на то, что гипотеза о теоретическом нормальном распределении с заданными параметрами $m$ и $\sigma$ не противоречит экспериментальным данным.

Наблюдаемое на рисунке отличие гистограмм может быть вызвано случайными причинами (случайностью выбора испытанных автоматических выключателей). Однако, такое заключение требует проверки.

Оценивая различия гистограмм на рис. 4.2, можно заметить, что рассеяние контролируемого параметра в эксперименте явно больше, чем в гипотетическом нормальном распределении. Второе наблюдение — наличие некоторого смещения гистограммы предполагаемого теоретического распределения.

В качестве простого наглядного исследования можно пробовать корректировать гипотезу, например, изменять параметры гипотетического распределения: можно предположить, что оно имеет параметры $m=155$А и $\sigma =18$А.

При такой гипотезе можно снова произвести расчет теоретических частот попадания в интервалы и построить новую совмещенную гистограмму. Такая гистограмма представлена на рис. 4.3.

Рис.: Гистограмма токов мгновенного расцепления: экспериментальные и теоретические частоты для нормального распределения с параметрами $m=155$А и $\sigma =18$А

Качественное сравнение рис. 4.2 и 4.3 склоняет в пользу гипотезы о нормальном распределении с параметрами $m=155$А и $\sigma =18$А, но необходима количественная проверка гипотез.

Во‑первых, они обе могут быть отвергнуты по причине несоответствия вида распределения.

Во‑вторых, степень их согласованности с экспериментом, возможно, различна, что позволит отдать предпочтение какой‑либо из них.

Такую проверку можно реализовать с помощью критерия согласия Пирсона, который рассматривается в главе 5 вместе с другими критериями.