10.8. Биномиальные вероятности как приближение гипергеометрических вероятностей

Биномиальные вероятности числа успехов при выборочном контроле продукции не вполне точно описывают реальность. В реальной последовательности испытаний Бернулли вероятность успеха — появления дефектного изделия — не остается постоянной и зависит от результатов предыдущих испытаний. Учет этого обстоятельства рассмотрен ниже.

В общем случае предъявленная на контроль совокупность изделий (партия продукции) насчитывает конечное число изделий $N$. Среди этих $N$ изделий есть $D$ дефектных и ${K=N-D}$ годных.

При извлечении случайной выборки, насчитывающей $n$ изделий, при каждом последующем извлечении меняется состав оставшейся партии. Так, если на очередном шаге процедуры извлечения случайно в выборку попало дефектное изделие, то на следующем шаге в оставшейся партии их общее число уменьшилось на единицу, что изменило вероятность появления такого же изделия на следующем шаге.

Общее число вариантов извлечения любых конкретных $n$ объектов из множества мощности $N$, как известно задается биномиальным коэффициентом $\binom{N}{n}$. Для отыскания вероятности того, что среди этих $n$ объектов окажется точно $d$ из множества $D$ дефектных необходимо число вариантов  $\binom{D}{d}$ умножить на число вариантов извлечения $n-d$ годных из их общего количества $N-D$. Это число вариантов можно представить биномиальным коэффициентом  $\binom{N-D}{n-d}$. На основании классического определения вероятности как отношения числа благоприятных успеху вариантов к их общему числу, найдем искомую вероятность появления точно $d$ дефектных среди $n$ выбранных случайно из общего числа $N$, содержащих $D$ дефектных

$$h_{n,d}^{N,D}=\frac{\binom{D}{d}\cdot\binom{N-D}{n-d}}{\binom{N}{n}}.$$ (10.45)

Вероятности (10.45) называют гипергеометрическими. С соответствующими поправками [5] эти вероятности могут быть заменены вероятностями Пуассона, что, как указано выше, бывает необходимо при аналитическом исследовании характеристик планов контроля.