10.7. Приближение биномиальных вероятностей вероятностями Пуассона

При соблюдении условий малости вероятности успеха и для малых значений числа успехов, т. е. при выполнении, по крайней мере, приближенных равенств

$$p \approx 0{,}1q,$$ (10.31)

$$d \approx 0{,}1n$$ (10.32)

рекуррентный множитель (10.23) может быть представлен приближенно более простым выражением, как это показано ниже

$$w=\frac{pn}{d+1}\cdot\left(\frac{1}{q}-\frac{d}{qn}\right)\approx\frac{pn}{d+1}.$$ (10.33)

Если ввести обозначение $\lambda=pn$, то

$$w\approx\frac{\lambda}{d+1}.$$ (10.34)

Теперь можно найти приближенные аналитические выражения биномиальных вероятностей следующим образом. Начнем с представления

$$b(0;np)=(1-p)^n,$$ (10.35)

которое позволяет записать равносильное равенство

$$\ln b(0;np)= n\cdot\ln(1-p)=n\cdot\left(-p-\frac{p^2}{2}-\frac{p^3}{3}\cdots\right).$$ (10.36)

Если ограничиться первым членом ряда, то (10.36) приобретет вид

$$\ln b(0;np)\approx-np=-\lambda,$$ (10.37)

откуда следует приближение

$$b(0;np)\approx e^{-\lambda}.$$ (10.38)

Применив последовательно рекуррентный множитель в форме (10.34) найдем

$$b(1;np) \approx b(0;np)\cdot\frac{\lambda}{1}\approx e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda}{1},$$ (10.39)

$$b(2;np) \approx b(1;np)\cdot\frac{\lambda}{2}\approx e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^2}{2\cdot 1},$$ (10.40)

$$b(3;np) \approx b(2;np)\cdot\frac{\lambda}{3}\approx e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^3}{3\cdot 2\cdot 1}.$$ (10.41)

Из приведенной последовательности (10.39)=(10.41) нетрудно найти общую формулу

$$b(d;np)\approx e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^d}{d!}.$$ (10.42)

Правую часть этого выражения называют вероятностью Пуассона. Далее эти вероятности будут обозначаться следующим образом

$$\psi(d;\lambda)=e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^d}{d!}.$$ (10.43)

Для того, чтобы иметь право называть величины  $\psi(d;\lambda)$ вероятностями, следует проверить условие нормировки. Сумма всех таких вероятностей, взятая по всем возможным значениям $d$, должна быть равна единице. Это условие проверяется непосредственно вычислением суммы ряда

$$\sum_{d=0}^\infty\psi(d;\lambda)=\sum_{d=0}^\infty \left[e^{-\lam... ...ght]=e^{-\lambda}\sum_{d=0}^\infty\frac{\lambda^d}{d!}=e^{-\lambda}e^\lambda=1.$$ (10.44)

Аналитическое качественное, а часто и с приемлемой точностью количественное, исследование свойств планов выборочного контроля более удобно проводить на основании распределения числа успехов в виде распределения Пуассона.