10.6. Свойства биномиального распределения вероятностей

Биномиальные вероятности, заданные (10.14) в дальнейшем будут обозначаться так, как показано ниже

$$b(d;np)=\binom{n}{d}\cdot p^dq^{n-d}.$$ (10.20)

Для выяснения свойств этих вероятностей полезно ввести понятие рекуррентного множителя $w$, который определен как отношение последующего значения ряда распределения к предыдущему, т. е. в соответствии с формулой

$$w=\frac{b(d+1;np)}{b(d;np)}=\frac{p^{d+1}\cdot q^{n-d-1}\cdot\displaystyle\binom{n}{d+1}}{p^d\cdot q^{n-d}\cdot\displaystyle\binom{n}{d}}.$$ (10.21)

Используя факториальную форму биномиальных коэффициентов легко получить из (10.21) представление

$$w=\frac{p}{q}\cdot\frac{n!}{(d+1)!(n-d-1)!}\cdot\frac{d!(n-d)!}{n!},$$ (10.22)

которое после сокращения множителей в факториалах дает простое выражение рекуррентного множителя

$$w=\frac{p(n-d)}{q(d+1)}.$$ (10.23)

Этот множитель может быть полезен, в частности, при вычислении биномиальной вероятности $d+1$ успехов, если известна вероятность $d$ успехов:

$$b(d+1;np)=w\cdot b(d;np).$$ (10.24)

Этот же множитель является основой при исследовании характера изменения биномиальных вероятностей как функции числа успехов. Действительно, в точке $d$ эта функция возрастает, если соблюдено неравенство

$$\frac{b(d+1; np)}{b(d; np)}>1$$ (10.25)

или, в силу определения (10.21) и (10.23) то же самое, что

$$w=\frac{p(n-d)}{q(d+1)}>1.$$ (10.26)

Записывая эквивалентное неравенство

$$pn-pd > qd+q,$$ (10.27)

после очевидного преобразования к виду $pn-q>d(p+q)$ с учетом равенства $p+q=1$, найдем окончательно условие возрастания функции биномиальной вероятности

$$pn-q>d.$$ (10.28)

Аналогично, найдем условие, при котором функция биномиальных вероятностей убывает с ростом числа успехов:

$$pn-q<d.$$ (10.29)

На рис. 10.1 представлен, например, график биномиальных вероятностей с параметрами $n=50$, $p=0{,}05$. На оси абсцисс этого графика указано значение $pn-q=1{,}55$, которое разделяет области возрастания и убывания биномиальных вероятностей.

Рис. 10.1. График биномиальных вероятностей.

Выражения (10.28) и (10.29) позволяют указать моду биномиального распределения [35], т. е. значение числа успехов, которое встречается с наибольшей вероятностью. В конкретном примере — это число успехов $d=2$. А в общем случае

$$Mo[b(d;np)]=\lfloor pn-q+1\rfloor,$$ (10.30)

где символ $\lfloor\ldots\rfloor$ означает целую часть числа.