10.5. Распределение числа дефектных единиц в выборке

Распределение числа дефектных единиц продукции в выборке задано, если известны вероятности каждого возможного значения случайной величины $S_{n,Be}$, которая описана выше. Пусть $d$ обозначает конкретное значение числа дефектных единиц продукции в выборке. Тогда распределение $S_{n,Be}$ задано, если известна вероятность того, что  $S_{n,Be}=d$.

Число единиц (успехов) $d$ среди $n-d$ нулей (неуспехов) может появляться на разных местах последовательности. Например, последовательности $001001000100000$ и $000001100100000$ дают одинаковое значение $d=3$. Вероятность любой такой последовательности, в силу теоремы умножения вероятностей задается произведением  $p^dq^{n-d}$.

Но вариантов появления точно $d$ успехов существует столько, сколько существует подмножеств мощностью $d$, образованных из элементов множества мощности $n$. Поэтому вероятность обнаружить точно $d$ единиц на любых местах среди $n$ можно записать в виде

$$\Pr\{S_{n,Be}=d\} = \binom{n}{d}\cdot p^dq^{n-d},$$ (10.14)

где выражение

$$\binom{n}{d} = \frac{n!}{d!\cdot(n-d)!}$$ (10.15)

и есть число $d$‑подмножеств $n$‑множества, которое еще в комбинаторике называют числом сочетаний [36], а в анализе биномиальным коэффициентом [34].

Определение (10.15) необходимо дополнить свойством

$$\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1.$$ (10.16)

Кроме того, непосредственной подстановкой факториальной формы (10.15) проверяется важное рекуррентное соотношение

$$\binom{n}{d} = \binom{n-1}{d}+\binom{n-1}{d-1}.$$ (10.17)

Эта формула, иногда очень полезная при вычислениях, лежит в основе так называемого треугольника Паскаля, начальная часть которого изображена ниже

$$\begin{array}{cccccccc} n & d=0 & d=1 & d=2 & d=3 & d=4 & d=5... ... & 5 & 1 \\ n=6 & 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1 \\ \end{array}$$

Каждая строка этого треугольника содержит биномиальные коэффициенты вида  $\binom{n}{d}$ для всех значений $0\le d\le n$.

Вероятности (10.14) связаны с биномом Ньютона: сумма всех этих вероятностей для значений $0\le d\le n$ представляет разложение бинома

$$(p+q)^n=\sum_{d=0}^n\left[\binom{n}{d}p^d\cdot q^{n-d}\right].$$ (10.18)

Имея в виду, что $p+q=1$, из (10.18) следует, что

$$\sum_{d=0}^n\left[\binom{n}{d}p^d\cdot q^{n-d}\right]=1.$$ (10.19)

Это равенство, очевидно, должно соблюдаться потому, что сумма в (10.19) распространена на события, образующие полную группу несовместных событий.