10.4. Представление результата контроля случайной величиной

Выше уже была упомянута вероятностная трактовка акта контроля по альтернативному признаку: обнаружению бракованного изделия ставят в соответствие единицу бинарной переменной, а появлению годного изделия ставят в соответствие нуль. Появление того или иного результата случайно и результат каждого акта контроля отдельного изделия есть случайная величина Бернулли $Y_{Be}$. Контроль выборки при этом можно описывать как последовательность испытаний Бернулли.

Случайная величина Бернулли характеризуется вероятностью $p$ появления 1 и, соответственно, вероятностью $q$, с которой появляется 0. Очевидно, поскольку никаких других событий, кроме 0 и 1, появиться не может, имеет место соотношение

$$q=1-p.$$ (10.8)

Для этой случайной величины $Y_{Be}$ можно непосредственно вычислить первый момент $m_1$ или математическое ожидание $E[Y_{Be}]$, второй момент $m_2$ и дисперсию $D[Y_{Be}]$. По определению моментов дискретной случайной величины [35]

$$m_1 = E[Y_{Be}] = 1\cdot p + 0\cdot q = p,$$ (10.9)

$$m_2 = 1^2\cdot p + 0^2\cdot q,$$ (10.10)

$$D[Y_{Be}] = m_2-m_1^2 = p-p^2 = p\cdot(1-p)=pq.$$ (10.11)

Относительно результатов контроля всей выборки, насчитывающей $n$ изделий, говорят как о некоторой последовательности испытаний Бернулли. В этой последовательности в общем случае вероятность $p$ может зависеть от числа уже проверенных изделий. Однако, если численность выборки невелика по отношению к объему $N$ всей проверяемой совокупности (партии) изделий, полагают, что во всех испытаниях Бернулли данной последовательности вероятность появления «успеха» (обнаружения дефектного изделия и его индикатора равного 1) остается неизменной. Тогда результат контроля выборки можно выразить суммой результатов отдельных испытаний Бернулли. Эта сумма $S_{n,Be}$ представляет не что иное, как число дефектных единиц продукции в выборке.

Обратим внимание на то, что эта сумма $S_{n,Be}$ является величиной случайной, поскольку в основе выборочного контроля лежит предположение о случайности отбора объектов в выборку из общей совокупности.

Используя теоремы о сумме независимых случайных величин и то, что все $Y_{Be}$, образующие сумму $S_{n,Be}$ имеют одинаковое распределение, можно найти математическое ожидание и дисперсию суммы последовательных испытаний Бернулли

$$E[S_{n,Be}] = n\cdot E[Y_{Be}] = np,$$ (10.12)

$$D[S_{n,Be}] = n\cdot D[Y_{Be}] = npq.$$ (10.13)

Таким образом, найдены характеристики случайной величины, описывающей результат контроля выборки.

Однако для полного описания этой случайной величины необходимо ещё найти выражение для вероятности каждого отдельного значения этой случайной величины и тем самым дать возможность вычислять её функцию распределения.