Связь параметров плана выборочного контроля по измеримому признаку с границей допуска и долями брака

13.4. Связь параметров плана выборочного контроля по измеримому признаку с границей допуска и долями брака

Потребителю и изготовителю часто удобнее задавать согласованные требования к качеству партий в виде соответствующих долей брака.

Пусть изготовителем задан уровень доли брака $p_$ _пр в партии, при которой приемка должна осуществляться с вероятностью $1-\alpha$ . Как и выше $\alpha$ — это риск поставщика, т. е. вероятность отвергнуть партию с уровнем качества $p_$ _пр по результатам контроля.

Потребитель, в свою очередь, может задать уровень доли брака в партии $p_$ _бр такой, что партии с таким низким уровнем качества или еще хуже должны приниматься с вероятностью не превосходящей $\beta$ . Эта вероятность $\beta$ традиционно называется риском потребителя.

Пусть верхнее допускаемое значение контролируемого признака $X$ обозначено $T$ . Доля брака $p$ в партии может быть выражена как вероятность того, что случайное значение $X$ контролируемого признака окажется вне поля допуска

$\displaystyle p=\Pr\{X>T\}.$

(13.20)

На уровне приемлемого качества, т. е. при $\mu=\mu_$ _пр

$\displaystyle p_$ _пр $\displaystyle =\Pr\{X>T\vert\mu=\mu_$ _пр $\displaystyle \}.$

(13.21)

Предполагая, что случайная величина $X$

(контролируемый признак) распределена нормально с известным математическим ожиданием и стандартным отклонением $\sigma$ , (13.21) можно записать в виде

$\displaystyle p_$ _пр $\displaystyle =1-\Phi\left(\frac{T-\mu_\text{пр}}{\sigma}\right)$

или

$\displaystyle 1-p_$ _пр $\displaystyle =\Phi\left(\frac{T-\mu_\text{пр}}{\sigma}\right).$

(13.22)

Аналогично для неприемлемого браковочного уровня качества получим

$\displaystyle 1-p_$ _бр $\displaystyle =\Phi\left(\frac{T-\mu_\text{бр}}{\sigma}\right).$

(13.23)

Воспользуемся понятием квантиля. Тогда две последние формулы могут быть записаны как

$\displaystyle Z_{1-p_\text{пр}}=\frac{T-\mu_\text{пр}}{\sigma}$

(13.24)

$\displaystyle Z_{1-p_\text{бр}}=\frac{T-\mu_\text{бр}}{\sigma}.$

(13.25)

Из (13.24) и (13.25) следует, что

$\displaystyle \mu_$ _пр $\displaystyle =T-\sigma\cdot Z_{1-p_\text{пр}}$

$\displaystyle \mu_$ _бр $\displaystyle =T-\sigma\cdot Z_{1-p_\text{бр}}$

Теперь после подстановки этих значений в выражения для контрольного норматива и численности выборки получим

$\displaystyle c=\frac{Z_{1-\alpha}\cdot Z_{1-p_\text{бр}}-Z_\beta\cdot Z_{1-p_\text{пр}}}{Z_{1-\alpha}-Z_\beta}$

(13.26)

$\displaystyle n=\left(\frac{Z_{1-\alpha}-Z_\beta}{Z_{1-p_\text{бр}}-Z_{1-p_\text{пр}}}\right)^2.$

(13.27)

Предположение нормальности распределения контролируемого признака может на практике нарушаться. Например, распределение может быть равномерным. Если оно известно, то все формулы после (13.21) следует пересмотреть^13.3.

Прдолжая пример п. 13.3, найдем параметры планов контроля при разных сочетаниях приемлемой и браковочной долей дефектности в партии. Верхняя граница допускаемого значения выдержки времени теплового реле задана стандартной $T=480$ с. Результаты соответствующих вычислений по (13.26) и (13.27) представлены табл. 13.1.

**Таблица 13.1.** Значения численности выборки и контрольного норматива для разных вариантов соотношений приемлемой и браковочной долей брака
$\begin{table}{\small\begin{displaymath}\begin{array}{\vert r\vert c\vert c\vert}... ...{0}}\ensuremath{\hphantom{0}}\\ \hline \end{array}\end{displaymath}} \end{table}$

Сравнивая результаты настоящего примера со значением численности выборки предыдущего примера п. 13.3 можно заметить значительное увеличение численности выборки в новых планах контроля. Это обстоятельство легко объяснимо тем, что план контроля примера п. 13.3 не обеспечивал достаточно малого значения доли брака.

Завершая главу, необходимо отметить, что аналогично может быть построен план контроля, обеспечивающий заданные доли брака с известными рисками при наличии нижней границы допуска^13.4.