13.3. Параметры плана контроля и квантили вероятности приемки

Значения рисков и соответствующих уровней качества обычно могут быть заранее согласованы изготовителем и потребителем. Тогда возникает вопрос о том, как построить план контроля, чтобы соблюсти эти согласованные требования к качеству. Иными словами надо научиться задавать контрольный норматив $c$ и численность выборки $n$, зная требования к качеству, выраженные через риски $\alpha$, $\beta$ и согласованные соответствующие уровни качества $\mu_$_пр, $\mu_$_бр. Для этого сначала уточним понятие квантиля распределения.

Если функция распределения непрерывна, то она имеет обратную функцию. Эту функцию, обратную к функции распределения и называют функцией квантиля или просто квантилем.

Значения этой функции определяются следующим образом. Если известна функция распределения $F$, то $P$‑квантиль ($Z_P$) — это такой аргумент функции $F$, при котором функция распределения равна $P$. Это определение можно выразить равенством

$$F(Z_P)=P.$$ (13.9)

В частности, используя (13.6) и (13.8), можно написать, что

$$\beta=L(\mu_ )=\Phi\left(\frac{c-\mu_\text{бр}}{\sigma/\sqrt{n}}\right).$$ (13.10)

и тогда в соответствии с определением квантиля имеем равенство

$$Z_\beta=\frac{c-\mu_\text{бр}}{\sigma/\sqrt{n}}.$$ (13.11)

Переписав (13.7) в виде

$$1-\alpha=L(\mu_ )=\Phi\left(\frac{c-\mu_\text{пр}}{\sigma/\sqrt{n}}\right),$$ (13.12)

найдем, что

$$Z_{1-\alpha}=\frac{c-\mu_\text{пр}}{\sigma/\sqrt{n}}.$$ (13.13)

Итак, если известны значения рисков $\alpha$ и $\beta$, то соответствующие квантили можно найти в таблицах функции нормального распределения или в таблицах квантилей этой функции, например, в [6]. Можно воспользоваться функцией НОРМСТОБР пакета электронных таблиц Excel^®13.2.

При известных квантилях  $Z_{1-\alpha}$, $Z_\beta$ и согласованных уровнях качества  $\mu_$_пр, $\mu_$_бр неизвестными являются контрольный норматив $c$ плана контроля и необходимая численность выборки $n$. Эти неизвестные входят в уравнения (13.11) и (13.13).

Решение этой системы достигается сначала почленным делением

$$\frac{Z_{1-\alpha}}{Z_\beta}=\frac{c-\mu_\text{пр}}{c-\mu_\text{бр}}.$$ (13.14)

А из (13.14) непосредственно следует основная формула для контрольного норматива

$$c=\frac{\mu_\text{бр}\cdot Z_{1-\alpha}-\mu_\text{пр}\cdot Z_\beta}{Z_{1-\alpha}-Z_\beta}.$$ (13.15)

Почленное вычитание (13.11) из (13.13) дает

$$Z_{1-\alpha}-Z_\beta=\frac{\mu_\text{бр}-\mu_\text{пр}}{\sigma/\sqrt{n}}.$$ (13.16)

Из (13.16) следует основная формула для минимальной численности выборки

$$n=\left(\sigma\cdot\frac{Z_{1-\alpha}-Z_\beta}{\mu_\text{бр}-\mu_\text{пр}}\right)^2.$$ (13.17)

Один важный частный случай заслуживает отдельного рассмотрения. Это вариант согласованности требований производителя и потребителя, при котором риски выбираются одинаковыми, т. е. имеет место равенство  $\alpha=\beta$.

Из свойства симметрии плотности нормального распределения относительно центра следует, что

$$Z_\beta=-Z_{1-\alpha}.$$ (13.18)

Тогда формула для контрольного норматива превращается в

$$c=\frac{\mu_\text{пр}+\mu_\text{бр}}{2}.$$ (13.19)

Рассмотрим пример определения параметров плана контроля времени срабатывания реле перегрузки при 1,5‑кратной перегрузке. Пусть известно значение стандартного отклонения времени срабатывания $\sigma=60$ с и согласованы приемочное значение математического ожидания времени срабатывания при перегрузки равное 360 с, а браковочное значение 420 с. При равных рисках потребителя и поставщика  $\alpha=\beta=0{,}05$ квантили соответственно равны $Z_\beta=-1{,}645$, $Z_{1-\alpha}=1{,}645$.

Используя (13.19), найдем контрольный норматив

$$c=(420+360)/2=390~ ,$$

а численность выборки при этом в соответствии с (13.17) окажется равной

$$n = \left(\sigma\cdot\frac{Z_{1-\alpha}-Z_\beta}{\mu_\text{бр}-... ...right)^2 = \left(60\cdot\frac{1{,}645-(-1{,}645)}{420-360}\right)^2 \approx 11.$$

Анализируя пример, можно развить постановку задачи формирования плана контроля, учитывая, что задание согласованных уровней качества в виде $\mu_$_пр и $\mu_$_бр не отвечает на вопрос о доле брака в принятых и отвергнутых партиях изделий. Этот вопрос рассмотрен ниже.