14.3. Рассеяние контролируемого параметра и индекс воспроизводимости $C_p$

Количественным показателем воспроизводимости технологического процесса может являться любая числовая характеристика рассеяния контролируемого параметра выпускаемых изделий.

Например, для реле времени типа РВЭ1А номинал времени срабатывания составляет 10 с. Техническими условиями допускается вариация этого времени в пределах $\pm3$% от номинала [29]. Это означает, что в партии годных реле время срабатывания отдельного экземпляра реле является случайной величиной, распределенной на интервале от 9,7 с до 10,3 с. Если реально в партии реле время срабатывания лежит в пределах от 9,3 с до 10,8 с, то можно с уверенностью говорить о неудовлетворительной воспроизводимости процесса производства этих реле. Напротив, рассеяние в пределах $\pm2$% от номинала свидетельствовало бы о хорошей воспроизводимости.

При изготовлении катушек реле типа РЭС34 контролируется их сопротивление, которое может отличаться от номинального значения 120 Ом на $\pm18$ Ом и среди катушек, изготовленных, например, за рабочий день, могут быть отдельные катушки с сопротивлением, лежащим в интервале от 102 Ом до 138 Ом.

Общепринятой абсолютной мерой рассеяния случайной величины является ее стандартное отклонение. Рассеяние каждого контролируемого признака подчиняется какому/либо закону распределения случайных величин.

Среди всех возможных распределений чаще всего встречается [10] нормальное распределение Гаусса. Его выбирают в качестве некоторого эталона. Плотность нормального распределения случайной величины $x$ описывается функцией

$$f(x)=\frac{1}{\sigma\cdot\sqrt{2\cdot\pi}}\cdot\exp\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{(x-M_x)^2}{\sigma^2}\right),$$ (14.1)

в которой $M_x$ обозначает математическое ожидание, а $\sigma$ — стандартное отклонение.

Определенный интеграл от этой функции плотности, взятый в пределах от $a$ до $b$, численно равен вероятности того, что случайная величина примет значение в интервале $(a,b)$. Интеграл

$$F(y)=\frac{1}{\sigma\cdot\sqrt{2\cdot\pi}}\cdot\int\limits_{-\infty}^y\exp\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{(x-M_x)^2}{\sigma^2}\right)\cdot dx$$

называется функцией нормального распределения. А если $M_x=0$ и $\sigma=1$, то соответствующий интеграл

$$\Phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\cdot\pi}}\cdot\int\limits_{-\infty}^z\exp\left(-\frac{1}{2}\cdot t^2\right)\cdot dt$$

представляет функцию нормированного нормального распределения или функцию распределения Гаусса. Этот интеграл принадлежит к числу специальных функций, хорошо изучен и табулирован. Его вычисление встроено в компьютерные математические пакеты и программные продукты типа LibreOffice Calc, MathCad ${}^$, MatLab ${}^$, Excel ${}^$. В русскоязычной версии Excel ${}^$ это функция НОРМСТРАСП, в англоязычной версии — NORMSDIST^14.2.

Вид функции плотности нормального распределения изображен на рис. 14.1. На этом же рисунке приведены значения вероятностей попадания случайной величины $x$ на интервалы, симметричные относительно математического ожидания и имеющие длину $2\sigma$ ,$4\sigma$ и $6\sigma$. Эти значения найдены по таблицам [6,59].

Рис. 14.1. Плотность вероятности нормального распределения $f(x)$ и вероятности $\Pr$ попадания случайной величины $x$ на указанные интервалы

Как видно на рис. 14.1, вероятность попадания случайной величины на интервал ширины $6\sigma$ очень близка к единице. Границы этого интервала шириною $6\sigma$ принимают обычно в качестве практических границ рассеяния случайной величины и называют интервалом практического разброса случайной величины.

Выше уже было сказано, что каждый контролируемый параметр изделия имеет назначенные границы допустимого разброса значений и эти границы образуют интервал, называемый полем допуска. Очевидно, что для характеристики воспроизводимости процесса производства, целесообразно сопоставить допускаемый и фактический разбросы значений контролируемого параметра. Именно этой цели и служит индекс воспроизводимости.

В переводе международного стандарта ISO3534–2 [24] этот индекс рассматривается как частный случай индекса возможностей процесса. Для индекса возможностей процесса используют стандартное обозначение PCI. В общем случае PCI определяют как отношение ширины поля допуска к мере возможностей процесса. В качестве такой меры можно принять, например, значение стандартного отклонения $\sigma$ или интервал практического разброса равный $6\sigma$. Стандарт рекомендует обязательно указывать принятую меру возможностей процесса в таких обозначениях как PCI$_\sigma$ или PCI$_{6\sigma}$. В практике чаще всего употребляют PCI$_{6\sigma}$, и для этого индекса возможностей применяют название индекс воспроизводимости, а также рекомендованное стандартом обозначение $C_p$.

Индексом воспроизводимости называется отношение ширины допустимого поля разброса контролируемого параметра к практическому интервалу рассеяния, реализованному в производстве.

Примем обозначения границ поля допуска:

• USL (Upper Specification Limit) — наибольшее предельное значение контролируемого параметра или верхняя граница допуска;
• LSL (Lower Specification Limit) — наименьшее предельное значение контролируемого параметра или нижняя граница допуска.

Теперь определение индекса воспроизводимости, ${C_p=PCI_{6\sigma}}$, можно записать в виде формулы

$$C_p=\frac{USL-LSL}{6\cdot\sigma}.$$ (14.2)

Индекс воспроизводимости тем выше, чем меньше стандартное отклонение, т. е. чем меньше рассеяние значений параметра.

Чем выше индекс воспроизводимости, тем более устойчиво производство к отклонениям от нормы на каждом отдельном этапе создания конечного продукта.

Например, пусть по результатам статистического исследования производства катушек реле РЭС34 установлено, что значение стандартного отклонения их сопротивления может быть принято равным 4,5 Ом. Учитывая приведенные выше границы допустимого рассеяния, $USL=138$ Ом и $LSL=102$ Ом, найдем $C_p=(138-102)/(6\cdot4{,}5)=1{,}33$.

Какие выводы количественного характера можно сделать, имея значение индекса воспроизводимости? Такой вопрос естественно возникает и ответ на него рассмотрен ниже.