15.1. Связь индекса воспроизводимости $C_p$ и вида распределения контролируемого параметра

Допустим, что распределение контролируемого признака подчиняется не нормальному закону Гаусса, а закону равномерного распределения на отрезке, ограниченном верхней и нижней границами допуска. Закон равномерного распределения контролируемого признака (или его приближение) реально получается при использовании отбраковки продукции, попадающей в значительно более узкое поле допуска, чем исходный разброс.

Закон равномерного распределения получается приближенно и при смешивании в одну нескольких партий продукции с узким разбросом контролируемого признака, но с отличающимися средними значениями.

Н.А. Бородачевым с сотрудниками [61] было открыто, что закон равномерного распределения плотности вероятности является предельным для случайной величины, образованной суммой нормально распределенной величины и неслучайного равномерного во времени смещения за период от начального до некоторого конечного промежутка времени. Такая сумма реально появляется, например, при сложении случайных отклонений и равномерного во времени износа инструмента или оборудования.

Функция плотности равномерного распределения случайной величины $x$ записывается в виде [9]

$$f(x)= \begin{cases} 1/b, & (M_x-b/2)\le x \le (M_x+b/2)\\ 0, & x<(M_x-b/2), x>(M_x+b/2) \end{cases},$$ (15.1)

где $(M_x-b/2)$ и $(M_x+b/2)$ — границы распределения, а $M_x$ — математическое ожидание распределения.

Дисперсия $D_x$ и стандартное отклонение $\sigma$ этого распределения непосредственно выражаются через ширину интервала возможных значений $b$

$$D_x=\sigma^2=b^2/12.$$ (15.2)

Теоретически совпадение границ распределения параметра и его допуска, т. е. соблюдение равенств

$$(M_x-b/2)=LSL\ \ (M_x+b/2)=USL$$

означает, что ни одно изделие не является дефектным, так как вероятность выхода за границы допуска равна в точности нулю в соответствии с определением (15.1). Тем не менее формальное применение определения индекса воспроизводимости, данное в предыдущей главе, для равномерного в пределах допуска распределения с учетом (15.2) дает значение

$$C_p=\frac{USL-LSL}{6\cdot\sqrt{b^2/12}}=\frac{b\cdot\sqrt{12}}{6\cdot b}\approx 0{,}577.$$

Столь низкое значение индекса воспроизводимости при теоретическом отсутствии дефектной продукции может показаться неожиданным. Тем не менее, такое значение является вполне оправданным. Действительно, вероятности значительных отклонений параметра от середины поля допуска при равномерном распределении возрастают по сравнению с нормальным распределением Гаусса.

Сравнение значительных отклонений нормального и равномерного распределений иллюстрирует рис. 15.1, где указаны значения вероятностей того, что отклонение от середины поля допуска окажется в области удаленной от середины более чем на две трети половины ширины поля. Для нормального распределения эта область находится вне интервала  ${m\pm2\sigma}$.

Рис. 15.1. Соотношение вероятностей существенных отклонений для нормального и равномерного распределений

Если отмеченную область считать областью существенных отклонений, то необходимо признать нижеследующий вывод: доля существенных отклонений контролируемого признака от центра распределения при равномерном распределении в 7 раз выше, чем при нормальном распределении Гаусса.

В дальнейшем при анализе индекса налаженности и функциональных размерных цепей будет показано с еще большей отчетливостью, что равномерное распределение в поле допуска опасно для технологического процесса, с точки зрения его устойчивости к воздействию мешающих случайных воздействий и отклонений от нормы.