15.2. Индекс $C_{pk}$ и показатель центрированности

Выше, при определении индекса воспроизводимости предполагалось, что контролируемый параметр рассеян вокруг центрального значения, которое совпадает с серединой поля допуска. Однако в действительности среднее значение контролируемого признака $\mu$ может быть смещено относительно середины поля допуска $m$. Для того чтобы охарактеризовать смещение процесса, применяют показатель центрированности $k$, определяемый как отношение абсолютного значения смещения к половине ширины поля допуска:

$$k=\frac{\left\vert m-\mu\right\vert}{(USL-LSL)/2}.$$ (15.3)

Очевидно, что идеально центрированному процессу соответствует значение $k=0$ и доля брака определяется значением индекса воспроизводимости. При увеличении показателя центрированности увеличивается и доля бракованной продукции. Если $k=1$, то центрирование реализовано на границе допуска и доля брака оказывается не менее половины.

Кроме показателя центрированности широко используется индекс налаженности, или, как его еще называют, индекс настройки. Сначала необходимо ввести понятия частных индексов настройки и допустимых полуразбросов.

Взаимное положение поля допуска и функции плотности распределения значений контролируемого параметра, а также графическое изображение смещения и полуразбросов иллюстрирует рис. 15.2.

Рис. 15.2. Основные величины, определяющие индексы настройки процесса, в котором контролируется параметр $x$ с допуском $T$ и номинальным значением $DN$ ($f(x)$ — плотность нормального распределения со стандартным отклонением $\sigma$ и математическим ожиданием $\mu$)

Частный индекс настройки по верхней границе $CPU$ определяется как отношение допустимого верхнего полуразброса нормального распределения к половине фактического разброса:

$$CPU=\frac{USL-\mu}{3\sigma},$$ (15.4)

где допустимый верхний полуразброс определен, как расстояние от верхней границы допуска до центра распределения разброса контролируемого параметра. Фактический разброс как и выше принят равным $6\sigma$ и потому его половина есть $3\sigma$.

Допустимым нижним полуразбросом нормального распределения контролируемого параметра является интервал от середины разброса $\mu$ до нижней границы допуска $LSL$.

Аналогично определим частный индекс настройки по нижней границе допуска $CPL$:

$$CPL=\frac{\mu-LSL}{3\sigma}.$$ (15.5)

Общий индекс налаженности $C_{pk}$ определим как наименьший из двух введенных выше частных индексов настройки так, что

$$C_{pk}=\min(CPU,CPL).$$ (15.6)

Частные индексы настройки, индекс налаженности и индекс воспроизводимости связаны между собой простой полезной формулой

$$CPL+CPU=2\cdot C_p.$$ (15.7)

которая получается суммированием (15.4) и (15.5) с учетом определения (14.2).

Для отыскания связи индексов качества с показателем центрированности рассмотрим частный случай, когда процесс смещен вверх от середины поля допуска. Выразив индекс воспроизводимости через половину допуска как

$$C_p=\frac{USL-m}{3\cdot\sigma},$$ (15.8)

найдем, что

$$C_p-C_{pk}=\frac{\mu-m}{3\cdot\sigma}.$$ (15.9)

Подставив вместо смещения $(\mu- m)$ его выражение через показатель центрированности $k$ из определяющей формулы (15.3), получим

$$C_p-C_{pk}=\frac{k\cdot(USL-LSL)/2}{3\cdot\sigma}=k\cdot C_p,$$ (15.10)

и окончательно

$$C_{pk}=C_p\cdot(1-k).$$ (15.11)

Наименьшее значение $k=0$ в соответствии с (15.3). Поэтому из (15.11) легко сделать вывод, что максимальное значение индекса налаженности $C_{pk}$ в точности равно индексу воспроизводимости $C_p$.

Если произошло смещение процесса, то вероятность брака «выше нормы», которая связана с выходом контролируемого параметра за верхнюю границу, может быть найдена как

$$\alpha_U=1-\Phi\left(\frac{USL-\mu}{\sigma}\right)=1-\Phi(3\cdot CPU).$$ (15.12)

Соответственно вероятность брака «ниже нормы» или отклонений меньших нижнего отклонения есть

$$\alpha_L=\Phi\left(\frac{LSL-\mu}{\sigma}\right)= 1-\Phi\left(\frac{\mu-LSL}{\sigma}\right)= 1-\Phi(3\cdot CPL).$$ (15.13)

После суммирования (15.12) и (15.13) получим с учетом 15.7 общую вероятность брака

$$\alpha=\alpha_U+\alpha_L=2-\Phi(3\cdot C_{pk})-\Phi(3\cdot(2\cdot C_p-C_{pk})),$$ (15.14)

выраженную через два основных индекса налаженности и воспроизводимости. В (15.14) учтено, что по определению один из частных индексов (например, $CPU$) совпадает с индексом налаженности в соответствии с (15.6). Тогда другой частный индекс (например, $CPL$) в соответствии с (15.7) есть  $(2C_p-C_{pk})$.

Суммарную вероятность брака $\alpha$, выраженную в (15.14), можно, подставив $C_{pk}$ из (15.11), преобразовать к виду

$$\alpha=2-\Phi(3\cdot C_p\cdot(1-k))-\Phi(3\cdot C_p\cdot(1+k)).$$ (15.15)

В последнем выражении возможное смещение настройки производства представлено не индексом настройки, а показателем центрированности.

Опыт применения индексов воспроизводимости и налаженности в менеджменте качества продукции позволяет рекомендовать определенные действия, направленные на улучшение процесса производства [32].

Первая из рекомендаций состоит в том, что индекс налаженности $C_{pk}$ можно применять только для анализа статистически управляемого процесса. Подтвердить статистическую управляемость процесса можно с помощью стандартизованных методов контрольных карт Шьюхарта [12,25,26].

Вторая рекомендация сводится к необходимости проверки согласия гипотезы о нормальности распределения отклонений контролируемого параметра с экспериментальными выборочными данными. Такая проверка может быть реализована совместно с проверкой статистической управляемости процесса.

И третья рекомендация касается ситуации, в которой при высоком значении индекса воспроизводимости $C_p$ индекс налаженности $C_{pk}$ оказывается ниже единицы. В этом случае необходимо сместить настройку процесса.

В электроаппаратостроении нередко встречаются контролируемые параметры, которые имеют односторонние допуски. В частности, большинство параметров срабатывания электромеханических реле нормируются односторонними допусками. Примером таких параметров являются напряжения, токи и времена срабатывания большинства слаботочных реле [29]. В такой ситуации невозможно оценивать воспроизводимость с помощью индекса воспроизводимости $C_p$. Он попросту не определен, и остается единственный индекс налаженности или настройки $C_{pk}$, который может быть использован. Более того, из двух частных индексов настройки смысл имеет только один, в зависимости от того, какая граница допуска определена. Частный индекс настройки для неопределенной границы допуска можно принять формально стремящимся к бесконечности. Тогда определение формально индекса $C_{pk}$ как минимума двух частных индексов сохраняется. Но теперь индекс $C_{pk}$ характеризует и настройку и воспроизводимость процесса.