15.3. Эмпирические значения индексов качества и их обобщенное представление $C_{pt}$

При расчете обычных индексов качества $C_p$ и $C_{pk}$ по выборочным данным вместо теоретических значений математического ожидания $\mu$ и стандартного отклонения $\sigma$ используют их статистические оценки $\mu^\ast$ и $s$.

Если получено $n$ случайных значений $x_i$ контролируемого признака, то согласно [10] и аналогично расчетам, использованным в главах о контрольных картах, эти оценки находят с помощью соотношений:

$$\mu^\ast=\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^nx_i$$ (15.16)

и

$$s=\sqrt{\frac{n}{(n-1)}}\cdot\sqrt{\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n(x_i-\mu^\ast)^2}.$$ (15.17)

Получение достоверных значений индексов качества возможно лишь при значительных объемах выборки $n$. Технический комитет по использованию статистических методов (TC 69) международной организации по стандартизации (ISO) рекомендует вместе с индексами качества определять и доверительные границы индекса воспроизводимости [52].

Доверительные границы индекса воспроизводимости $C_p$ оценивают следующим образом. Пусть в результате выборочного оценивания по (15.16) и (15.17) найдена оценка стандартного отклонения $s$. Тогда в соответствии с определением индекса воспроизводимости в формуле (14.2) вместо $\sigma$ следует подставить значение $s$ и найти статистическую оценку индекса воспроизводимости

$$C_p^\ast=\frac{USL-LSL}{6\cdot s}.$$ (15.18)

Вероятность того, что действительное значение $C_p$ лежит в пределах доверительного интервала  $K_L\cdot C_p^\ast<C_p<K_U\cdot C_P^\ast$, называется доверительной вероятностью. Доверительная вероятность определяется объемом выборки и границами доверительного интервала. В таблице 15.1 приведены рекомендуемые значения $K_L$ (в числителе) и $K_U$ (в знаменателе), определяемые для заданных значений доверительной вероятности $P_A$ и объема выборки $n$.

Таблица 15.1. Границы доверительного интервала индекса воспроизводимости

Необходимость использования двух индексов для того, чтобы охарактеризовать качество процесса изготовления продукции, стала причиной критического отношения к индексам [27]. Возможность усовершенствования индексов качества реализована японским ученым Генити Тагути [2,65]. Индекс воспроизводимости Тагути определяется так же, как и выше: отношением допустимого разброса (допуска) к фактическому разбросу. В отличие от индекса $C_p$ в качестве меры фактического разброса выбирается величина, получившая название «сигма Тагути» и обозначаемая ниже $s_t$. Величина $s_t$ может быть определена по результатам выборочного исследования разброса контролируемого признака.

Если в результате статистического исследования получены $n$ выборочных значений $x_i$ контролируемого признака, то значение $s_t$ — это по определению

$$s_t=\sqrt{\frac{n}{(n-1)}}\cdot\sqrt{\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n(x_i-m)^2},$$ (15.19)

где, как и выше, $m$ — середина поля допуска.

Таким образом, «сигма Тагути» оценивает рассеяние параметра относительно желаемого среднего, а не относительно оценки математического ожидания, как это имеет место при расчете по (15.17) статистической оценки стандартного отклонения.

Фактический разброс по Тагути определяется как $6s_t$, а индекс воспроизводимости Тагути задается формулой

$$C_{pt}=\frac{USL-LSL}{6\cdot s_t}.$$ (15.20)

Обычно в теории статистики величина $s^2$ называется выборочной статистической дисперсией [9]. Соответственно величину $s_t^2$ называют дисперсией Тагути. Если возвести в квадрат определяющее равенство (15.19) и провести подстановку ${(x_i-m)=(x_i-\mu^\ast)-(m-\mu^\ast)}$, то после простых преобразований получим

$$s_t^2=\frac{n}{n-1}\cdot\left[\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu^\as... ...t(m-\mu^\ast\right)\cdot\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\mu^\ast\right)}{n}\right].$$

Используя определение (15.17) и следующее непосредственно из (15.16) тождество

$$\sum_{i=1}^n(x_i-\mu^\ast)=0,$$

окончательно найдем связь дисперсии Тагути с выборочной дисперсией и смещением среднего выборочного значения относительно середины поля допуска

$$s_t^2=s^2+\frac{n}{n-1}\cdot\left(m-\mu^\ast\right)^2.$$ (15.21)

Анализируя выражение (15.21) можно сделать вывод, что дисперсия Тагути совпадает с обычной выборочной дисперсией $s^2$, если смещение отсутствует и оценка среднего выборочного значения $\mu^\ast$ совпадает с серединой поля допуска $m$. Смещение центра распределения всегда приводит к росту дисперсии Тагути и снижению индекса Тагути, который отображает как влияние рассеяния, так и влияние смещения. Но применим он только для двухсторонних допусков.