16.2. Уравнения размерной цепи

Замкнутый контур размерной цепи позволяет составить уравнение цепи. В простейшей форме уравнения размерной цепи принято размеры увеличивающих звеньев считать положительными, уменьшающих — отрицательными. Такое уравнение имеет вид

$$\ensuremath{\text{\textit{Г}}}_\Delta=\sum_{i=1}^n\ensuremath{\text{\textit{Г}}}_i,$$ (16.1)

где $\ensuremath{\text{\textit{Г}}}_i$ — размеры составляющих звеньев, взятые с соответствующими знаками, $\ensuremath{\text{\textit{Г}}}_\Delta$ — замыкающий размер.

В более общем случае изменение размера составляющего звена может приводить к не равному, а пропорциональному ему отклонению замыкающего звена. Например, уравнение цепи  $\ensuremath{\text{\textit{В}}}$ может быть записано с помощью размеров $D_1$ и $D_2$ в виде

$$\ensuremath{\text{\textit{В}}}_\Delta=\frac{1}{2}D_1+\frac{1}{2}D_2.$$

Для учета указанного обстоятельства в уравнение размерной цепи вводят коэффициенты пропорциональности $\xi_i$ и называют их передаточными отношениями. Тогда уравнение записывают в форме

$$\ensuremath{\text{\textit{Г}}}_\Delta=\sum_{i=1}^n\xi_i\cdot\ensuremath{\text{\textit{Г}}}_i.$$ (16.2)

В этом уравнении обычно полагают , что $\ensuremath{\text{\textit{Г}}}_i$ — это абсолютные значения размеров составляющих звеньев, а передаточные отношения $\xi_i$ берутся со знаками, соответствующими характеру звеньев (для увеличивающего звена  $\ensuremath{\text{\textit{Г}}}_i$ положительно, для уменьшающих — отрицательно). В примере цепи  $\ensuremath{\text{\textit{В}}}$ передаточные отношения суть $\xi_1=1/2$ и $\xi_2=-1/2$.

Все рассмотренные выше примеры включали в размерные цепи только линейные размеры, расположенные в одной плоскости. Эти цепи называются плоскими. Если размеры, образующие замкнутый контур, располагаются в разных плоскостях, то размерная цепь называется пространственной. Кроме линейных цепей, которые содержат только линейные размеры, могут рассматриваться и угловые цепи, составленные из размеров, измеряемых в угловых единицах.

В некоторых конструкциях в отличие от рассмотренных выше примеров возникают размерные цепи с непараллельными размерами. При этом может возникнуть необходимость ввести в цепь так называемый переходный размер, который в общем случае не определяется и не измеряется. При составлении уравнений размерной цепи такой размер должен быть исключен. Примером размерной цепи с непараллельными размерами является цепь, составленная для конструкции электромагнитного клапана (рис. 16.3) с коническим наконечником.

Рис. 16.3. Конструктивная схема электромагнитного клапана с возможными переходными размерными звеньями

В конструкции клапана замыкающим звеном является высота зазора  $\ensuremath{\text{\textit{Х}}}$ между конической поверхностью клапана $2$ и седлом клапана $1$. Общей сборочной базой является верхняя плоскость кольца прокладки $3$, с которой соприкасается (не показанная на рисунке) крышка. Последняя ограничивает перемещение вверх самого клапана $2$.

В замкнутом контуре размеров, изображенном на рис. 16.4, присутствует размер, обозначенный $\lambda$, который в процессе изготовления и сборки не контролируется. Это и есть упомянутый выше переходный размер. Контролируемым размером при изготовлении клапана является угол $\alpha$, который и определяет значение переходного размера. Особенность такой размерной цепи состоит в том, что в замкнутый контур цепи входят лишь линейные размеры, а угловая величина в цепь не включена. В общем случае можно для каждой конкретной цепи составлять систему уравнений, из которой впоследствии исключается значение переходного размера.

Исходная размерная цепь конструкции клапана изображена на 16.4.

Рис. 16.4. Размерная цепь электромагнитного клапана с переходным размером и проекция цепи на ось $aa'$

Эта цепь может быть описана системой двух уравнений, получаемых при проектировании контура цепи на две оси координат, которые можно выбрать, вообще говоря, произвольно. Если на рис. 16.4 эти оси выбрать совпадающими с взаимно перпендикулярными размерами  $\ensuremath{\text{\textit{С}}}_1$ и $\ensuremath{\text{\textit{С}}}_2$, то получим следующую систему уравнений размерной цепи:

$$\lambda\cdot\sin\frac{\alpha}{2} = \ensuremath{\text{\textit{К}}}_2-\ensuremath{\text{\textit{С}}}_1;$$ (16.3)

$$\ensuremath{\text{\textit{Х}}} = -\lambda\cdot\cos\frac{\alpha}{2}-\ensuremath{\text{\textit{К}}}_1+\ensuremath{\text{\textit{С}}}_2+\ensuremath{\text{\textit{П}}}_1.$$ (16.4)

В эти уравнения переходный размер $\lambda$ входит. Очевидно, что можно алгебраически исключить этот размер. Например, преобразовав второе из уравнений к виду

$$\lambda\cdot\cos\frac{\alpha}{2}=-\ensuremath{\text{\textit{Х}}}... ...tit{К}}}_1+\ensuremath{\text{\textit{С}}}_2+\ensuremath{\text{\textit{П}}}_1$$

и разделив первое уравнение на преобразованное второе, получим

$$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\ensuremath{\text{\textit{К}}}_2-\ensu... ...К}}}_1+ \ensuremath{\text{\textit{С}}}_2+ \ensuremath{\text{\textit{П}}}_1}.$$

Теперь остается выразить размер замыкающего звена  $\ensuremath{\text{\textit{Х}}}$ и получить окончательную форму уравнения размерной цепи

$$\ensuremath{\text{\textit{Х}}}=\ensuremath{\text{\textit{С}}}_1... ...ext{\textit{К}}}_1-\ensuremath{\text{\textit{К}}}_2\cdot\ctg\frac{\alpha}{2}.$$ (16.5)

Исключить неизвестный переходный размер можно более изящно. Как уже упомянуто выше, выбор осей, на которые проектируется замкнутый контур, вообще говоря, вполне произволен. И если спроектировать замкнутый контур цепи на ось перпендикулярную переходному размеру, то проекция его окажется сразу же исключенной из рассмотрения, поскольку она равна нулю.

На рисунке 16.4 ось $aa'$ перпендикулярна переходному размеру $\lambda$. Проекции звеньев размерной цепи обозначены штрихами. Уравнение размерной цепи проекций имеет вид

$$\ensuremath{\text{\textit{Х}}}'=\ensuremath{\text{\textit{С}}}_... ...}}}_1'- \ensuremath{\text{\textit{К}}}_1'-\ensuremath{\text{\textit{К}}}_2'.$$

Уравнение сразу не содержит переходного размера, так как его проекция на ось $aa'$ равна нулю. Выразив все проекции через натуральные размеры и тригонометрические функции угла $\alpha/2$, получим:

$$\ensuremath{\text{\textit{Х}}}\cdot\sin\frac{\alpha}{2}=\ensurem... ...in\frac{\alpha}{2}- \ensuremath{\text{\textit{К}}}_2\cdot\cos\frac{\alpha}{2}.$$

После деления на  $\sin(\alpha/2)$ уравнение примет уже известный вид (16.5). Анализируя это выражение, можно сделать вывод, что уравнение размерной цепи теперь не является линейным относительно определяющих величин. Уравнение (16.5) не линейно относительно угла $\alpha$.

Размерные цепи, в уравнения которых входят произвольные (не только линейные) функции размеров, называют в общем случае функциональными размерными цепями. Линейные размерные цепи являются частным видом функциональных.