5.2.1. Построение $np$‑карты и биномиальные вероятности

Карты числа дефектных единиц используют, когда объем выборки $n$ остается неизменным пока используется разработанная карта. Предположим, что процесс выпуска или поступления изделий стабилен, и что он характеризуется долей дефектности $p$. Число дефектных единиц, попавших в выборку, обозначают $np$.

Значение характерной доли дефектности может быть задано заранее, например, в документах технологической подготовки производства. Ниже в этой ситуации характерная доля дефектности обозначена $p_0$.

Если заранее приемлемое значение не задано, то предварительно процесс производства изучают, отбирая выборки принятой длины $n$ и фиксируя в каждой число $d$ дефектных единиц. Среднюю долю несоответствующих единиц продукции находят как отношение

$$\bar{p}=\frac{N_{nc,tot}}{N_{i,tot}},$$ (5.1)

в котором $N_{i,tot}$ — общее количество проверенных изделий, а  $N_{nc,tot}$ — общее количество обнаруженных несоответствующих единиц продукции. На этой стадии предварительного исследования объем выборок не обязательно равен $n$, хотя это и предпочтительно.

На картах регистрируют количество дефектных (бракованных) изделий в каждой выборке. Заранее должны быть вычислены и проведены

• центральная линия $C_L$;
• верхняя контрольная граница $U_{CL}$;
• нижняя контрольная граница $L_{CL}$.

В процессе контроля после отбора очередной выборки обнаруженное число несоответствующих единиц продукции отображают на карте (обычно крестиком). Процесс производства считается вышедшим из управляемости, если очередная точка на карте оказалась выше верхней контрольной границы.

Нижняя граница не столь важна. Наличие точки ниже нижней границы только свидетельствует об улучшении характеристик процесса и может использоваться для решения об ослаблении жесткости контроля.

Не обосновывая пока теоретически, приведем простейший способ назначения верхней и нижней контрольных границ по формулам

$$U_{CL}=n\bar{p}+3\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})}$$ (5.2)

и

$$L_{CL}=n\bar{p}-3\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})}.$$ (5.3)

Центральная линия карты определяется средней долей несоответствующих единиц продукции

$$C_L=n\bar{p}.$$ (5.4)

Если характерная доля дефектности $p_0$ задана заранее, то во всех трех приведенных выше формулах $\bar{p}$ следует заменить на $p_0$.

В общем, не исключено, что нижняя граница по (5.3) окажется меньше нуля. И тогда, конечно, полагают $L_{CL}=0$.

Границы, вычисляемые по (5.2) и (5.3) называют трёхсигмовыми. И обоснование этого можно дать после рассмотрения того, как результаты контроля выборки описываются случайной величиной.