5.2.2 Представление результата контроля выборки случайной величиной

Сначала введем вероятностную трактовку акта контроля по альтернативному признаку. В однократном акте контроля обнаружению бракованного изделия ставят в соответствие единицу бинарной переменной. Если изделие оказалось годным, то этому факту ставят в соответствие нуль. Появление того или иного результата случайно и результат каждого акта контроля отдельного изделия есть случайная величина. Такую случайную величну принято называть случайной величиной Бернулли $Y_{Be}$.

Случайная величина Бернулли характеризуется вероятностью $p$ появления $1$ и, соответственно, вероятностью $q$, с которой появляется 0. Очевидно, поскольку никаких других событий, кроме 0 и $1$, появиться не может, имеет место соотношение

$$q=1-p.$$ (5.5)

Для этой случайной величины $Y_{Be}$ можно непосредственно вычислить первый момент $m_1$ или математическое ожидание $E[Y_{Be}]$, второй момент $m_2$ и дисперсию $D[Y_{Be}]$. По определению моментов дискретной случайной величины [16]

$$m_1 =E[Y_{Be}]=1\cdot p + 0\cdot q = p,$$ (5.6)

$$m_2 =1^2\cdot p + 0^2\cdot q = p,$$ (5.7)

$$D[Y_{Be}] = m_2-m_1^2=p-p^2=p\cdot(1-p).$$ (5.8)

Теперь контроль выборки $n$ единичных изделий можно описывать как последовательность испытаний Бернулли. В каждом отдельном испытании данной последовательности вероятность $p$ появления «успеха» (обнаружения дефектного изделия и его индикатора равного $1$) остается неизменной. Тогда контроль всей выборки представляется последовательностью нулей и единиц. Результат контроля выборки можно выразить суммой результатов отдельных испытаний Бернулли. Эта сумма $S_{n,Be}$ представляет не что иное, как число дефектных единиц продукции в выборке.

Сумма $S_{n,Be}$ — величина случайная, поскольку в основе выборочного контроля лежит предположение о случайности отбора объектов в выборку из общей совокупности.

Используя теоремы о сумме независимых случайных величин [2] и то, что все $Y_{Be}$, образующие $S_{n,Be}$, имеют одинаковое распределение, можно найти математическое ожидание и дисперсию суммы последовательных испытаний Бернулли

$$E[S_{n,Be}] = n\cdot E[Y_{Be}] = np,$$ (5.9)

$$D[S_{n,Be}] = n\cdot D[Y_{Be}] = npq = np(1-p).$$ (5.10)

Таким образом, найдены характеристики случайной величины, описывающей результат контроля выборки.

Однако для полного описания этой случайной величины необходимо ещё найти выражение для вероятности каждого отдельного значения $S_{n,Be}$ и, тем самым, дать возможность вычислять её функцию распределения.