5.2.4. Свойства биномиального распределения вероятностей

Биномиальные вероятности, заданные (5.11) в дальнейшем будут обозначаться так, как показано ниже

$$b(d;np) = \binom{n}{d}\cdot p^dq^{n-d}.$$ (5.17)

Для выяснения свойств этих вероятностей и упрощения их вычислений полезно ввести понятие рекуррентного множителя. Рекуррентный множитель $w$ биномиальных вероятностей определяют как отношение последующего значения ряда распределения к предыдущему, т. е. в соответствии с формулой

$$w=\frac{b(d+1;np)}{b(d;np)}=\frac{\displaystyle\binom{n}{d+1}\cdot p^{d+1}q^{n-(d+1)}}{\displaystyle\binom{n}{d}\cdot p^dq^{n-d}}.$$ (5.18)

Используя факториальную форму биномиальных коэффициентов, из (5.18) легко получить представление

$$w=\frac{p}{q}\cdot\frac{n!}{(d+1)!(n-(d+1))!}\cdot\frac{d!(n-d)!}{n!},$$ (5.19)

которое после сокращения в факториалах дает простое выражение рекуррентного множителя

$$w=\frac{p(n-d)}{q(d+1)}.$$ (5.20)

Этот множитель может быть полезен, в частности, при вычислении биномиальной вероятности $d + 1$ успехов, если известна вероятность $d$ успехов:

$$b(d+1;np) = w\cdot b(d;np).$$ (5.21)

Но ещё важнее то, что рекуррентный множитель является основой при исследовании характера изменения биномиальных вероятностей как функции числа успехов.

Действительно, в точке $d$ эта функция возрастает, если соблюдено неравенство

$$\frac{b(d+1;np)}{b(d;np)} > 1$$ (5.22)

или, в силу определения (5.18) и (5.20), неравенство

$$w=\frac{p(n-d)}{q(d+1)} > 1.$$ (5.23)

Записав эквивалентное неравенство

$$pn-pd>qd+q,$$ (5.24)

после очевидного преобразования к виду  $pn - q > d(p + q)$ с учетом равенства $p + q = 1$, найдем окончательно условие возрастания функции биномиальной вероятности

$$pn-q > d.$$ (5.25)

Аналогично, найдем условие, при котором функция биномиальных вероятностей убывает с ростом числа успехов:

$$pn-q < d.$$ (5.26)

На рисунке 5.1 представлен, например, график биномиальных вероятностей с параметрами $n = 50$, $p = 0{,}05$. На оси абсцисс этого графика указано значение  $pn - q = 1{,}55$, которое разделяет области возрастания и убывания биномиальных вероятностей.

Выражения (5.25) и (5.26) позволяют указать моду биномиального распределения [16], т. е. наиболее вероятное число успехов. В конкретном примере — это число успехов $d = 2$. А в общем случае

$${\mathrm{Mo}}\left[b(d;np)\right] = \left\lfloor(pn-q+1)\right\rfloor,$$ (5.27)

где конструкция  $\lfloor\ldots\rfloor$ означает целую часть числа.

Рис. 5.1. График биномиальных вероятностей

На рисунке 5.1 видно, сколь несимметричен график биномиальной вероятности. Такая асимметрия характерна для ситуации, когда вероятность $p$ близка к нулю или к единице.

Проведенный анализ, демонстрирует, что процесс вычислений биномиальных вероятностей не прост. Поэтому исторически с XVIII в. и в начале XIX в. были предприняты усилия математиков для отыскания средств приближенного аналитического описания биномиальных вероятностей.