5.2.5. Приближение биномиальных вероятностей по теореме Муавра

5.2.5. Приближение биномиальных вероятностей по теореме Муавра–Лапласа

Теорема Муавра–Лапласа [14] позволяет оценить вероятность принадлежности нормированной суммы результатов выборки $\frac{S_n-M[S_n]}{\sqrt{D[S_n]}}$ некоторому интервалу. Эта вероятность согласно теореме асимптотически стремится к значению интеграла, который хорошо известен

$\displaystyle \Pr\left\{\alpha\le\frac{S_n-M[S_n]}{\sqrt{D[S_n]}}\le\beta\right\}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_\alpha^\beta e^{-u^2/2}du.$

(5.28)

Интеграл в правой части — это функция $\Phi$ стандартного нормального распределения с математическим ожиданием $M=0$

и стандартным отклонением $\sigma=1$ .

Нормирование суммы результатов выборки использует его стандартное отклонение

$\displaystyle \sigma=\sqrt{D[S_n]}.$

Выше для описании результата контроля выборки в п. 5.2.2 использовалась сумма испытаний Бернулли $S_{n,Be}$ . Математическое ожидание этой суммы $np$ было найдено в (5.9), а дисперсия $npq$ или $np(1-p)$ найдена в (5.10). И теперь становится ясным, что контрольная граница $U_{CL}$ на $np$ ‑карте отстоит на утроенное стандартное отклонение от центральной линии. Поэтому такую границу и называют трехсигмовой.

На основании теоремы Муавра–Лапласа (5.28) можно приближенно оценить эффективность этой границы. Найдем вероятность ложной тревоги — вероятность появления на карте точки выше трехсигмовой границы при условии, что процесс имеет среднее арифметическое совпадающее с центральной линией карты. Таким возможным событиям соответствует значение $\alpha=3$ и $\beta=\infty$ . Поскольку функции распределения $\Phi(3)$ соответствует интеграл от $-\infty$ до $3 $ , искомая вероятность есть $1-\Phi(3)$ . По таблицам [1] или в приложениях Microsoft Excel^®, LibreOffice Calc^® и подобных, найдем вероятность ложной тревоги $p= 1-0{,}99865=0{,}00135$ .

Обращаясь к (3.10) из п.3.3, можно оценить среднюю длину серии до появления ложной тревоги $ARL\approx740$ .

Известно [14], что приближения, основанные на теореме Муавра–Лапласа тем лучше, чем ближе вероятность событий к $0{,}5$ . При вероятностях близких к нулю (или к $1$ ) лучше пользоваться непосредственно биномиальными вероятностями или приближением, которое дается теоремой Пуассона.