5.2.6. Приближение биномиальных вероятностей по теореме Пуассона

Теорема Пуассона [14] утверждает, что биномиальная вероятность $b(d;np)$ при условии малости $np$ по сравнению с числом опытов $n$ может аппроксимироваться выражением

$$b(d;np) \approx e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^d}{d!},$$ (5.29)

где параметр  $\lambda=np$, а выражение в правой части называется вероятностью Пуассона.

Строго говоря, равенство (5.29) получено Пуассоном при условии, что $n$ стремится к бесконечности. А это означает, что и $d$ может быть сколь угодно большим. Тогда справедлив вопрос о правомерности названия вероятностями того, что составляет правую часть (5.29).

Для того, чтобы это можно было называть вероятностями, необходимо, чтобы сумма всех возможных значений таких выражений от нуля до бесконечности была равна единице. Положительный ответ на поставленный вопрос легко получить, записав сумму

$$\sum_{d=0}^\infty e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^d}{d!} = e^{-\lambda}\sum_{d=0}^\infty\frac{\lambda^d}{d!}=1,$$ (5.30)

в которой использовано определение экспоненты в виде ряда.

Ниже примем обозначение вероятностей Пуассона

$$\psi(\lambda;d)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^d}{d!}.$$ (5.31)

Имея приближение (5.29), можно вернуться к вопросу о вероятности выхода за верхнюю границу контрольной карты.

Пусть известна граница $U_{CL}$. Ближайщее целое число, превышающее ее, будем называть критическим числом дефектных объектов в выборке $d_{cr}$.

$$d_{cr}= \left\lfloor U_{CL} \right\rfloor+1.$$ (5.32)

Вероятность обнаружить число дефектных объектов равное или любое большее, чем $d_{cr}$, и есть искомая вероятность $p$ обнаружить на карте выход за верхнюю границу. При этом, если  $\lambda=np$, полученное значение соответствует вероятности ложной тревоги. После записи этой вероятности в виде

$$p=\sum_{d_{cr}}^\infty\psi(\lambda;d)=1-\sum_0^{d_{cr}-1}\psi(\lambda;d),$$ (5.33)

становится понятным, что расчет сводится к вычислению конечной суммы.

Для практического освоения описанных способов построения и использования $np$‑карт контроля качества рассмотрим пример.

В таблице 5.2 приведены данные о числе дефектных герконов в выборках постоянного объема $n=400$. Эти данные составляют основу предварительного исследования. В этой таблице наряду с экспериментальными данными приведены значения доли дефектности $p_i$ в каждой выборке.

Таблица 5.2. Выборочные данные контроля герконов

Средняя доля дефектности определяется из (5.1) как

$$\bar{p}=\frac{52}{400\cdot20}=0{,}0065.$$

Значение числа дефектных единиц, соответствующее центральной линии карты, получаем равным

$$C_L=n\bar{p}=400\cdot0{,}0065=2{,}6.$$

Верхняя трехсигмовая контрольная граница принимает значение

$$U_{CL}=n\bar{p}+3\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})}=2{,}6+3\sqrt{2{,}6(1-0{,}0065)}\approx7{,}42.$$

Для расчета по теореме Пуассона в табл. 5.3 при значении  $\lambda=n\bar{p}=2{,}6$ приведены вероятности Пуассона, накопленные суммы и вероятности «ложного сигнала».

Таблица 5.3. Вероятности Пуассона  $\psi (d;\lambda )$ при  $\lambda =2{,}6$ и суммы для расчета вероятности ложной тревоги

Проанализируем трехсигмовую границу  $UCL=7{,}42$. Выбор такой границы означает, что $d_{cr}=8$, т. е. появление $8$ или более дефектных изделий в выборке соответствует выходу процесса из управляемого состояния. В третьем столбце таблицы в строке $d=8$ приведена вероятность иметь любое $d$ меньшее $8$, а в четвертом столбце — вероятность обнаружить $d\ge8$. А это и есть искомая вероятность ложного сигнала тревоги. Итак находим, что при использовании трехсигмовой границы вероятность ложной тревоги  $p=0{,}0053336$. Этой вероятности соответствует средняя длина серии  $ARL=(1-p)/p=186{,}5$, а вовсе не $ARL=740$, которое было получено при использовании грубого приближения по теореме Муавра–Лапласа.

Таким образом оказалось, что можно выбрать $d_{cr}=9$ и при этом иметь вероятность ложной тревоги  $p=0{,}0014868$ и $ARL= 671$. При построении реальной контрольной $np$‑карты границу регулирования на карте следует провести между $d=8$ и $d =9$ так, что, например, справедливо будет положить  $U_{CL} = 8{,}5$.

Как видно из расчетов по теореме Муавра–Лапласа, получаются более жесткие границы регулирования и предупреждения. Это объясняется тем, что функция плотности нормального распределения, используемая в приближении Муавра–Лапласа симметрична, в то время как биномиальные вероятности, аппроксимируемые в нашей задаче, существенно асимметричны как относительно математического ожидания, так и относительно моды  ${\mathrm{Mo}}=2$. Распределение же Пуассона лучше аппроксимирует биномиальные вероятности, сохраняя асимметрию исходного распределения.

Помимо контрольных границ $U_{CL}$, $L_{CL}$ на $np$‑карте могут наноситься еще и предупреждающие границы. Появление нескольких подряд идущих текущих точек контрольной карты вне предупреждающих границ должно привлечь внимание технологов и лиц, принимающих решения. При выходе за верхнюю (нижнюю) предупредительную границу может быть рекомендовано ужесточение (ослабление) текущего контроля, например, за счет сокращения (увеличения) интервала времени между двумя соседними выборками. Предупреждающие границы проводят по рекомендации стандарта на расстоянии  $\pm2\sigma$ от центральной линии. Обозначая эти границы $U_{WL}$ и $L_{WL}$(Upper and Lower Warning Limit), запишем соответствующие формулы

$$U_{WL} =n\bar{p}+2\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})},$$ (5.34)

$$L_{WL} =n\bar{p}-2\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})}.$$ (5.35)

В конкретном рассмотренном примере верхняя предупреждающая граница может быть проведена на уровне

$$U_{WL}=n\bar{p}+2\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})}=2{,}6+2\sqrt{2{,}6(1-0{,}065)}\approx5{,}8.$$

Нижняя предупреждающая граница оказывается отрицательной и совпадает поэтому с нулевой линией также, как и нижняя контрольная граница.

Риск $\alpha_W$ ложного предупреждения при наличии такой границы оценивается с помощью теоремы Муавра–Лапласа и потому равен

$$\alpha_W=1-\Pr\left[L_{WL}\le S_n\le U_{WL}\right]\approx\left(1-\Phi(2)\right)\approx0{,}02275.$$

Аналогично верхней контрольной границе $U_{CL}$, верхняя предупреждающая граница $U_{WL}$ может быть найдена и на основе теоремы Пуассона. Пример такого расчета рассмотрен в задаче 21.

На рисунке 5.2 изображена контрольная карта числа дефектных единиц, полученная на основе расчетов, выполненных в примере. Карта отображает ход изменений показателя качества процесса, данные о котором приведены там же на бланке контрольной карты.

Рис. 5.2. Контрольная карта числа дефектных единиц (пример)