3.3 Оценки эффективности карт Шухарта

Построение контрольных карт Шухарта, рассмотренных выше, опирается на выбор контрольных границ по условию обеспечения наперед заданного малого значения вероятности «ложной тревоги». Однако, эта вероятность никак не характеризует эффективность контрольной карты в отношении реакции на разлаженность процесса. Хотя, очевидно, что обнаружение разлаженности — основная цель использования контрольной карты.

Можно по‑разному охарактеризовать эффективность контрольной карты. Важно отметить, что эффективность обнаружения разлаженности зависит от уровня и характера разлаженности, т. е. от того, насколько процесс отклонился от статистически управляемого стабильного и воспроизводимого состояния.

Для того, чтобы оценить эффективность контрольной карты, как инструмента обнаружения разлаженности, предложены разные способы.

Первый из них состоит в том, что строится так называемая оперативная характеристика карты [19]. Под оперативной характеристикой карты понимают вероятность $L$ появления точки внутри контрольных границ регулирования как функцию отклонения основной величины, отображаемой на карте, от центральной линии карты.

Этот способ подробно рассмотрен в [5], где описаны трудности сравнительного анализа карт указанным способом.

Более наглядным и интуитивно лучше воспринимаемым является метод оценки эффективности карты по средней длине серии выборок, необходимой для обнаружения разлаженности. Этот показатель характеризует «скорость» реакции контрольной карты при появлении разлаженности.

Средняя длина серии (СДС) — это среднее число выборок, которое подвергается контролю от момента наступления разлаженности процесса до появления точки вне границ регулирования контрольной карты.

Для обозначения СДС используют английскую аббревиатуру ARL (Average Run Length).

Сначала рассмотрим вероятностную схему, описывающую длину серии [21,25].

При отборе очередной выборки случайным образом контрольная точка с вероятностью «успеха»^3.3 $p$ выйдет за контрольные границы и с вероятностью ${q=1-p}$ останется внутри границ, предусмотренных для нормального процесса. Таким образом, отбор выборки и ее инспекция с получением точки контрольной карты соответствует однократному испытанию Бернулли. Число испытаний, проведенных до появления первого «успеха», и есть длина серии.

В рассматриваемой схеме событий длина серии есть случайная величина. Распределение этой случайной величины $X$ может быть найдено элементарным способом.

Вероятность получения длины серии равной $k$ определяется произведением

$$\Pr\{X=k\} = q^k\cdot p.$$ (3.6)

В соответствии с определением найдем математическое ожидание случайной величины $X$

$$M[X]=\sum_{0}^{\infty}\left[k\cdot q^k\cdot p\right]=p\cdot\sum_{0}^{\infty}\left[k\cdot q^k\right].$$ (3.7)

Для суммирования ряда в последнем выражении можно преобразовать эту сумму следующим образом

$$\sum_{0}^{\infty}\left[k\cdot q^k\right] = 0q^0+1q^1+2q^2+3q^3+\ldots=q(1+2q^1+3q^2+\ldots)=q(q'+(q^2)'+(q^3)'\ldots)$$

$$\sum_{0}^{\infty}\left[k\cdot q^k\right] = q(q'+(q^2)'+(q^3)'\ldots)=q(q+q^2+q^3\ldots)'.$$

Поскольку в последней скобке выражение представляет сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, подставив известное выражение такой суммы и беря производную, найдем искомое математическое ожидание

$$M[X]=p\cdot q\cdot\left(\frac{q}{1-q}\right)'=\frac{pq}{(1-q)^2}.$$ (3.8)

Тесная связь этого распределения с геометрической прогрессией послужила основанием того, что это распределение называют геометрическим.

Полученное выражение (3.8) математического ожидания длины серии до первого успеха в последовательности испытаний Бернулли и есть искомое выражение для отыскания значений ARL (СДС).

В силу того, что $q=1-p$ выражение (3.8) может быть приведено к виду

$$M[X]=\frac{(1-q)\cdot q}{(1-q)^2}=\frac{q}{1-q}=\frac{q}{p}=\frac{1-p}{p}.$$ (3.9)

Естественно, что значение

$$ARL=\frac{1-p}{p}$$ (3.10)

зависит от степени разлаженности, поскольку от нее зависит значение вероятности $p$. И обычно вычисленное по (3.10) значение округляют до ближайшего целого числа (иногда до 1 знака после запятой).

В частности, большой интерес представляет средняя длина серии до ложной тревоги для карт средних арифметических значений. Для карты средних арифметических значений выше был найден риск ложной тревоги ${\alpha=p_r=0{,}0027}$. Значит, средняя длина серии до появления ложной тревоги при использовании карт Шьюхарта составит

$$ARL=\frac{1-p}{p}=\frac{1-0{,}0027}{0{,}0027}\approx370.$$ (3.11)

Для сравнения, при относительном смещении процесса $0{,}8$ и если используется выборка объема $n=5$, вероятность сигнала тревоги близка к $0{,}1$ что дает

$$ARL=\frac{1-p}{p}=\frac{1-0{,}1}{0{,}1}=9.$$

То есть в этом случае средняя длина серии более чем в 40 раз меньше, чем для ложного предупреждения.