3.2. Вероятность выхода за границу карты

Итак, при построении контрольных карт средних арифметических выборок объема $n$ полагают, что эти значения $S_n/n$ распределены нормально с математическим ожиданием $\bar {x}$ и стандартным отклонением  $\sigma/\sqrt{n}$.

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина $S_n/n$ примет значение больше некоторого граничного значения $x_{fr}$ определяется как

$$\Pr\left\{(S_n/n)>x_{fr}\right\}=1-\Phi\left(\frac{x_{fr}-\bar{\bar{x}}}{\sigma/\sqrt{n}}\right),$$ (3.1)

где $\Pr\{B\}$ означает вероятность события $B$, а

$$\Phi(z)=\left(1/\sqrt{2\pi}\right)\cdot\int\limits_{-\infty}^z\exp(-y^2/2)dy$$

— нормированная функция нормального распределения [16]^3.1.

Если $x_{fr}$ соответствует, например, границе $U_{CL}$, то вероятность, записанная выше в виде (3.1), есть вероятность появления сигнала о выходе за верхнюю границу.

При значении $U_{CL}$, определяемом(2.14) и $Z_p=3$, если процесс стабилен и воспроизводим, найдем вероятность ложной тревоги, т.е. вероятность превышения верхней границы карты

$$\Pr\left\{(S_n/n)>U_{CL}\right\}= 1-\Phi\left(\frac{(\bar{\bar{x}}+3\sigma/\sqrt{n})-\bar{\bar{x}}}{\sigma/\sqrt{n}}\right)= 1-\Phi(3)=0{,}00135.$$

Для такого стабильного и воспроизводимого процесса эта вероятность есть вероятность (риск) ложной тревоги.

Аналогично, в силу симметрии нормального распределения, получим значение риска появления ложного сигнала о выходе за нижнюю границу

$$\Pr\left\{(S_n/n)<L_{CL}\right\}=\Phi(-3)=1-\Phi(3)=0{,}00135.$$

Таким образом, вероятность появления сигнала «тревоги», т. е. вероятность выхода среднего арифметического выборки за верхнюю или нижнюю границу, окажется равной по теореме сложения вероятностей  $\alpha=0{,}0027$.

Вспомним, что главная цель использования карт Шухарта — обнаружение смещения процесса, при котором возникает недопустимый сдвиг среднего значения контролируемого признака по отношению к его целевому значению. При возникновении недопустимого сдвига процесса в среднем вероятность сигнала тревоги очевидно должна быть настолько большой, чтобы с большей уверенностью обнаруживать необходимость корректировки процесса.

Итак, вопрос состоит в том, как связана вероятность появления сигнала тревоги на карте со сдвигом процесса.

Пусть смещение настройки привело к тому, что среднее значение контролируемого параметра вместо  $\bar{\bar{x}}_N$ стало равным  $\bar{\bar{x}}_E$, которое сдвинуто на некоторую величину $\Delta$. Искомая вероятность $p$ того, что среднее арифметическое превзойдет границу $U_{CL}$ может быть выражена так

$$p=\Pr\left\{\frac{S_n}{n}>U_{CL}\right\}=1-\Phi\left(\frac{U_{CL}-\bar{\bar{x}}_E}{\sigma/\sqrt{n}}\right).$$ (3.2)

Подставляя $U_{CL}$ из (2.14), находим, что

$$p=1-\Phi\left(\frac{\bar{\bar{x}}_N-Z_p\cdot\sigma/\sqrt{n}-\bar{\bar{x}}_E}{\sigma/\sqrt{n}}\right)$$ (3.3)

и поскольку  $\bar{\bar{x}}_E=\bar{\bar{x}}_N+\Delta$ для вероятности $p$ получим

$$p=1-\Phi\left(Z_p-\frac{\Delta}{\sigma/\sqrt{n}}\right)$$ (3.4)

или

$$p=1-\Phi\left(Z_p-\delta\sqrt{n}\right),$$ (3.5)

где введена величина относительного сдвига процесса  $\delta=\Delta/\sigma$. Для некоторых (3…11) значений численности выборки зависимость $p(\delta)$ показана на рис. 3.1^3.2.

Рис. 3.1. Изменение вероятности сигнала тревоги при увеличении относительного сдвига процесса от целевого значения