2.4. Расчет границ регулирования карт Шухарта

Имея оценку $\sigma^*$ стандартного отклонения в предварительном исследовании, рассчитывают верхнюю и нижнюю контрольные границы контрольной карты. Верхнюю контрольную границу принято обозначать $U_{CL}$ (Upper Control Limit), а нижнюю — $L_{CL}$ (Lower Control Limit).

На карте линии, соответствующие границам $U_{CL}$ и $L_{CL}$, проводят на расстоянии ${\pm Z_p\cdot\sigma^*/\sqrt{n}}$ от центральной линии $C_L$, совпадающей с общим средним. Как видно, расстояние до границ регулирования кратно значению стандартного отклонения среднего арифметического выборки

$$\sigma_e=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$ (2.12)

Это можно выразить следующими формулами

$$C_L = \bar{\bar{x}},$$ (2.13)

$$U_{CL} = C_L+Z_p\left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right),$$ (2.14)

$$L_{CL} = C_L-Z_p\left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right).$$ (2.15)

Обычно^2.4 принимают $Z_p=3$.

После расчета границ регулирования строят контрольную карту средних значений и на нее наносят средние значения $\bar{x}_i$ всех $m$ выборок, по которым проведен расчет. Пример заполнения таблицы предварительного исследования в производстве электромагнитных реле подробно рассмотрен в Приложении A. Если все средние значения выборок лежат между нижней и верхней границами, то делают вывод о том, что процесс статистически стабилен. В противном случае точки, вышедшие за пределы границ регулирования, должны быть исключены из рассмотрения. Это можно сделать, если таких «выскакивающих» точек немного: одна, две. Исключив выборки, соответствующие «выскочившим» точкам, проводят заново расчет границ регулирования и построение карты предварительного исследования. После построения новой карты при попадании всех точек между новыми границами $U_{CL}$ и $L_{CL}$, эти новые границы принимаются для регулирования. Если же и при новых границах наблюдаются «выбросы» средних значений оставшихся выборок за границы, то необходимо тщательное исследование технологических причин нестабильности процесса. После выявления и устранения причин нестабильности предварительное исследование следует провести заново.

При расчете границ регулирования карты средних арифметических в (2.14) и (2.15) истинное значение стандартного отклонения $\sigma$ заменяют его оценкой $\sigma^*$. В качестве такой оценки можно применить стандартное отклонение $s$ всей совокупности выборок определяемое (2.5). Чтобы не применять это громоздкое выражение, в практике разработки контрольных карт используют приближенные оценки стандартного отклонения.

Одна из таких оценок выражает $\sigma^*$ через среднее значение размаха выборок предварительного исследования в виде

$$\sigma^* = \frac{\bar{R}}{d_2},$$ (2.16)

где средний размах 

$$\bar{R} = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}R_i.$$ (2.17)

А другое приближение использует среднее значение выборочных стандартных отклонений

$$\sigma^* = \frac{\bar{s}}{c_2^*},$$ (2.18)

где среднее стандартное отклонение

$$\bar{s} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m}s_i.$$ (2.19)

Коэффициенты $d_2$ и $c_2^*$ зависят от объёма выборки, то есть от $n$. Значения этих коэффициентов можно найти в [5,6,25], а также в Приложении A. Коэффициент $d_2$ носит название константы Хартли.

После подстановки оценки (2.16) стандартного отклонения через средний размах в (2.14) имеем

$$U_{CL}=C_L+Z_p\left( \frac{\bar{R}}{d_2\sqrt{n}} \right).$$ (2.20)

Приняв, как обычно, $Z_p=3$, получим выражение для верхней границы контрольной карты средних выборочных значений в виде

$$U_{CL}=C_L+3\left(\frac{\bar{R}}{d_2\sqrt{n}}\right).$$

Вводя принятое стандартное обозначение  $A_2(n)=3/(d_2\cdot\sqrt{n})$, получим выражение для верхней границы регулирования в виде

$$U_{CL}=C_L+A_2(n)\times\bar{R}.$$ (2.21)

Аналогично, используя оценку стандартного отклонения через среднее стандартное отклонение всех выборок (2.18), находим

$$U_{CL} = C_L+Z_p\left( \frac{\bar{s}}{c_2^*\sqrt{n}} \right).$$

И, приняв стандартное обозначение  $B_2(n) = 3/(c_2^*\cdot\sqrt{n})$, получим ещё один вариант вычисления верхней границы регулирования:

$$U_{CL} = C_L+B_2(n)\times\bar{s}.$$ (2.22)

Значения коэффициентов $A_2$ и $B_2$ приведены в Приложении A, а соответствующие формулы для нижних границ выглядят также, как (2.21) и (2.22), в которых плюс заменен на минус.

Карта средних арифметических значений позволяет наблюдать за налаженностью технологического процесса или за его настройкой, т. е. за отсутствием существенного смещения процесса в среднем. Как было сказано выше, для управления качеством необходимо еще следить и за воспроизводимостью процесса, т. е. за рассеянием контролируемого признака.

Контроль за воспроизводимостью можно проводить, например, с помощью контрольной карты размахов. На диаграмме этой карты фиксируют для каждой выборки точки, отображающие в выбранном масштабе значения размахов.

Предварительно на карте размахов должны быть нанесены границы регулирования — верхняя ($U_{CL}$) и нижняя ($L_{CL}$). В качестве средней линии карты размахов используют средний размах $\bar{R}$, определяемый как в выражении (2.16). Традиционно для карт размахов используют упрощенный метод расчета границ регулирования. Контрольные границы карты размахов определяют выражения

$$U_{CL} = D_4\bar{R},$$ (2.23)

$$L_{CL} = D_3\bar{R}.$$ (2.24)

Коэффициенты $D_3$ и $D_4$ для употребительных значений численности выборки приведены в Приложении A.

Упрощенный метод расчета границ контрольной карты особенно полезен, когда приходится строить новые границы после удаления «выскакивающих» выборок.

При использовании комбинированных карт на одном бланке размещают диаграммы средних арифметических значений и размахов, выборочные и расчетные значения. Пример подобной совмещенной карты приведен на рис. 2.1. На карте указываются необходимые идентифицирующие сведения о контролируемых изделиях, способе, месте и времени контроля, о персонале, осуществляющем контроль. Как видно на карте для выборки №21 среднее арифметическое вышло за верхнюю границу регулирования, что требует вмешательства в технологический процесс.

Рис. 2.1. Пример заполненной контрольной карты средних арифметических и размахов

Дальнейшее слежение за процессом можно продолжить на этой же карте после наладки или перейти на новый чистый бланк.

Среди разнообразных карт Шухарта некоторое распространение получили карты медиан. Расчет границ и средней линии такой карты описаны в Приложении A. Если контролируемый признак имеет симметричное распределение, то применение карт медиан слабо оправдано. А вот если распределение контролируемого параметра имеет явно несимметричное распределение, более оправданым оказывается не карта средних арифметических, а карта медиан.