2.3. Распределение среднего арифметического выборки

Пусть есть выборка объема $n$ независимых случайных величин  $X_1, X_2, X_3, \ldots, X_n$. Все они извлечены из совокупности с математическим ожиданием $M[X]$ и стандартным отклонением $\sigma$. Образуем сумму $S_n$ этих величин и их среднее арифметическое равное по определению $S_n/n$.

По теореме о математическом ожидании суммы случайных величин математическое ожидание среднего арифметического выборок объёма $n$ совпадает с математическим ожиданием генеральной совокупности, из которой извлечена выборка.

Относительно дисперсии суммы случайных величин известно равенство Bienaime (Бьенэме): дисперсия суммы случайных величин равна сумме дисперсий этих величин при условии их независимости. Для случайной величины $Sn$

$$S_n = X_1+X_2+X_3+\ldots+X_n$$ (2.6)

согласно равенству Бьенэме

$$D[S_n]=\sum_{i}D[X_i],$$ (2.7)

где $D$ означает дисперсию. При условии, что все случайные величины $X_1, X_2, X_3, \ldots, X_n$ взяты из одной генеральной совокупности $X$, т. е. обладают одинаковой функцией распределения и потому одинаковой дисперсией, последнее равенство превращается в

$$D[S_n]=nD[X].$$ (2.8)

Дисперсия любой случайной величины обладает очевидным свойством [16]:

$$D[cX]=c^2D[X],$$ (2.9)

где $c$ — константа. Учитывая (2.8) и (2.9) для дисперсии среднего арифметического найдем

$$D\left[S_n/n\right]=\left(1/n^2\right)D[S_n]=\left(1/n^2\right)nD[X]=\frac{D[X]}{n}.$$ (2.10)

Таким образом, обнаружено, что дисперсия среднего арифметического выборки в $n$ раз меньше дисперсии генеральной совокупности. И тогда для стандартного отклонения среднего выборочного значения получим

$$\sigma\left[S_n/n\right]=\sqrt{D\left[S_n/n\right]}=\sqrt\frac{D[X]}{n}=\frac{\sigma[X]}{\sqrt{n}}.$$ (2.11)

Если изменчивость контролируемого процесса обусловлена влиянием многих случайных причин, то, как показывает опыт, в большинстве случаев распределение контролируемого количественного признака близко к нормальному распределению. Распределение среднего арифметического выборки из распределения близкого к нормальному тем более приближается к нормальному согласно предельной теореме Levi (Леви) о нормальной сходимости для сумм одинаково распределенных слагаемых[21].