7.1. EWMA‑метод

В практике управления качеством метод EWMA (Exponentially weighted moving average) появился как альтернатива cusum‑методу и относится к числу способов оценки управляемости процесса, которые учитывают ближайшее прошлое процесса. В отличие от карт Шухарта EWMA‑карты, как и cusum‑карты принадлежат к группе так называемых карт с памятью.

На карте экспоненциально взвешенных скользящих средних каждое следующее наблюдение только частично участвует в результате, отображаемом на карте.

Если $z_i$ обозначает результат, отображаемый на карте после $i$‑го наблюдения за процессом, а сама статистика полученная на этом шаге обозначена $x_i$, то главная формула метода — это

$$z_i=\lambda x_i + (1-\lambda)z_{i-1}.$$ (7.1)

В (7.1) множитель $\lambda$ определяет значимость текущего наблюдения $x_i$ в общей оценке предыдущей истории наблюдений. В стандарте [20] этот множитель называют весовым коэффициентом, а в литературе [12] встречается поясняющее название фактор сглаживания.

Обычно этот множитель принимают равным от 0,1 до 0,5. Если $\lambda=1$, то EWMA‑карта превращается в карту Шухарта.

EWMA‑карты рекомендуется применять, когда статистикой текущего наблюдения является среднее арифметическое выборки или индивидуальное значение контролируемого показателя.

В практике использования экспоненциально взвешенного среднего [20,26,27,28,33] обнаружено, что этот метод быстрее других методов реагирует на малые отклонения показателя от целевого значения и оказывается особенно эффективным, когда статистикой является просто индивидуальное значение наблюдения.

Это свойство EWMA‑карт оказывается весьма существенным для некоторых видов контроля. В частности, однократными результатами приходится пользоваться, если сама процедура контроля является дорогостоящей. Получение многократных результатов контроля иногда лишено смысла, если признак меняется медленно, но требуется его контролировать на достаточно большом промежутке времени. Пример такого варианта описан в работах, сопровождающих отслеживание качества воды после закрытия угольных шахт [12]. Так же ясно, что практически при разрушающем контроле во многих случаях нецелесообразно увеличивать расход готовой продукции или расход времени на ожидание результата при испытаниях на износ.

Как и для всех других видов контрольных карт, предполагают, что процесс производства воспроизводим и стандартное отклонение $\sigma$ контролируемого признака неизменно на интервале наблюдений, которые будут отображаться на карте. Дисперсия экспоненциально взвешенного среднего меняется с каждым шагом, приближаясь к некоторому установившемуся значению.

В теоретических работах [30,29] показано, что на $i$‑м шаге наблюдения дисперсия величины $z_i$ выражается как

$$\sigma_{z_i}^2=\sigma^2\left(\frac{\lambda}{2-\lambda}\right)[1-(1-\lambda)^{2i}].$$ (7.2)

По мере увеличения номера шага множитель  $[1-(1-\lambda)^{2i}]$ быстро приближается к единице, и потому после небольшого числа наблюдений можно полагать

$$\sigma_{z_i}=\sigma\sqrt{\frac{\lambda}{2-\lambda}}.$$ (7.3)

В начальной части процесса заполнения карты контрольные границы меняются в соответствии с изменением стандартного отклонения. Обычно контрольные границы в общем случае записывают следующим образом.

Верхняя контрольная граница $i$‑ого шага

$$U_{CL,i}=\mu_0+L\cdot\sigma_{z_i}$$ (7.4)

или с учетом (7.2)

$$U_{CL,i}=\mu_0+L\cdot\sigma\sqrt{\left(\frac{\lambda}{2-\lambda}\right)[1-(1-\lambda)^{2i}]}.$$ (7.5)

А нижнюю границу определяют как

$$L_{CL,i}=\mu_0-L\cdot\sigma_{z_i},$$ (7.6)

что дает после подстановки $\sigma_i$ из (7.2)

$$L_{CL,i}=\mu_0-L\cdot\sigma\sqrt{\left(\frac{\lambda}{2-\lambda}\right)[1-(1-\lambda)^{2i}]}.$$ (7.7)

В этих формулах $\mu _0$ — целевое значение среднего, характеризующее процесс в подконтрольном управляемом состоянии, а множитель $L$ выбирают обыкновенно в пределах от 2,7 до 3. При $L=3$ границы, как обычно, называют трехсигмовыми.