6.4. Индекс $C_{pk}$ и показатель центрированности $k$

Выше, при определении индекса воспроизводимости, предполагалось, что контролируемый параметр рассеян вокруг центрального значения, которое совпадает с серединой поля допуска. Однако в действительности среднее значение контролируемого признака $\mu$ может быть смещено относительно середины поля допуска $m$. Для того, чтобы охарактеризовать смещение процесса, применяют показатель центрированности $k$, определяемый как отношение абсолютного значения смещения к половине ширины поля допуска:

$$k=\frac{\left\vert m-\mu\right\vert}{(USL-LSL)/2}.$$ (6.6)

Очевидно, что идеально центрированному процессу соответствует значение $k=0$ и доля брака определяется значением индекса воспроизводимости. При увеличении показателя центрированности увеличивается и доля бракованной продукции. Если $k=1$, то центрирование реализовано на границе допуска и доля брака оказывается не менее половины.

Кроме показателя центрированности широко используется индекс налаженности, или, как его еще называют, индекс настройки. Сначала необходимо ввести понятия частных индексов настройки и допустимых полуразбросов.

Взаимное положение поля допуска и функции плотности распределения значений контролируемого параметра, а также графическое изображение смещения и полуразбросов иллюстрирует рис. 6.4.

Рис. 6.4. Основные величины, определяющие индексы настройки процесса, в котором контролируется параметр $x$ с допуском $T$ и номинальным значением $DN$. На рисунке $f(x)$ — плотность нормального распределения со стандартным отклонением $\sigma$ и математическим ожиданием $\mu$

Частный индекс настройки по верхней границе $CPU$ определяется как отношение допустимого верхнего полуразброса нормального распределения к половине фактического разброса:

$$CPU=\frac{USL-\mu}{3\sigma},$$ (6.7)

где допустимый верхний полуразброс определен как расстояние от верхней границы допуска до центра распределения разброса контролируемого параметра. Фактический разброс как и выше принят равным $6\sigma$ и потому его половина есть $3\sigma$.

Допустимым нижним полуразбросом нормального распределения контролируемого параметра является интервал от середины разброса $\mu$ до нижней границы допуска $LSL$.

Аналогично определим частный индекс настройки по нижней границе допуска $CPL$:

$$CPL=\frac{\mu-LSL}{3\sigma}.$$ (6.8)

Общий индекс налаженности $C_{pk}$ определим как наименьший из двух введенных выше частных индексов настройки так, что

$$C_{pk}=\min(CPU,CPL).$$ (6.9)

Частные индексы настройки, индекс налаженности и индекс воспроизводимости связаны между собой простой полезной формулой

$$CPL+CPU=2\cdot C_p,$$ (6.10)

которая получается суммированием (6.7) и (6.8) с учетом определения (6.2).

Для отыскания связи индексов качества с показателем центрированности рассмотрим частный случай, когда процесс смещен вверх от середины поля допуска. Выразив индекс воспроизводимости через половину допуска как

$$C_p=\frac{USL-m}{3\cdot\sigma},$$ (6.11)

найдем, что

$$C_p-C_{pk}=\frac{\mu-m}{3\cdot\sigma}.$$ (6.12)

Подставив вместо смещения $\mu-m$ его выражение через показатель центрированности $k$ из определяющей формулы (6.6), получим

$$C_p-C_{pk}=\frac{k\cdot(USL-LSL)/2}{3\cdot\sigma}=k\cdot C_p,$$ (6.13)

и окончательно

$$C_{pk}=C_p\cdot(1-k).$$ (6.14)

Наименьшее значение $k=0$ в соответствии с (6.6). Поэтому из (6.14) легко сделать вывод, что максимальное значение индекса налаженности $C_{pk}$ в точности равно индексу воспроизводимости $C_p$.

Если произошло смещение процесса, то вероятность брака «выше нормы», которая связана с выходом контролируемого параметра за верхнюю границу, может быть найдена как

$$\alpha_U=1-\Phi\left(\frac{USL-\mu}{\sigma}\right)=1-\Phi(3\cdot CPU).$$ (6.15)

Соответственно, вероятность брака «ниже нижней границы» есть

$$\alpha_L=\Phi\left(\frac{LSL-\mu}{\sigma}\right)= 1-\Phi\left(\frac{\mu-LSL}{\sigma}\right)= 1-\Phi(3\cdot CPL).$$ (6.16)

После суммирования (6.15) и (6.16) получим с учетом (6.10) общую вероятность брака

$$\alpha=\alpha_U+\alpha_L=2-\Phi(3\cdot C_{pk})-\Phi(3\cdot(2\cdot C_p-C_{pk})),$$ (6.17)

выраженную через два основных индекса налаженности и воспроизводимости. В (6.17) учтено, что по определению один из частных индексов (например, $CPU$) совпадает с индексом налаженности в соответствии с (6.9). Тогда другой частный индекс (например, $CPL$) в соответствии с (6.10) есть  $2C_p-C_{pk}$.

Суммарную вероятность брака $\alpha$, выраженную в (6.17), можно, подставив $C_{pk}$ из (6.14), преобразовать к виду

$$\alpha=2-\Phi(3\cdot C_p\cdot(1-k))-\Phi(3\cdot C_p\cdot(1+k)).$$ (6.18)

В последнем выражении возможное смещение настройки производства представлено не индексом настройки, а показателем центрированности.

Опыт применения индексов воспроизводимости и налаженности в менеджменте качества продукции позволяет рекомендовать определенные действия, направленные на улучшение процесса производства [26].

Первая из рекомендаций состоит в том, что индекс налаженности $C_{pk}$ можно применять только для анализа статистически управляемого процесса. Подтвердить статистическую управляемость процесса можно с помощью стандартизованных методов контрольных карт Шьюхарта [11,20,21].

Вторая рекомендация сводится к необходимости проверки согласия гипотезы о нормальности распределения отклонений контролируемого параметра с экспериментальными выборочными данными. Такая проверка может быть реализована совместно с проверкой статистической управляемости процесса.

И третья рекомендация касается ситуации, в которой при высоком значении индекса воспроизводимости $C_p$ индекс налаженности $C_{pk}$ оказывается ниже единицы. В этом случае необходимо сместить настройку процесса.

В электроаппаратостроении нередко встречаются контролируемые параметры, которые имеют односторонние допуски. В частности, большинство параметров срабатывания электромеханических реле нормируются односторонними допусками. Примером таких параметров являются напряжения, токи и времена срабатывания большинства слаботочных реле [24]. В такой ситуации невозможно оценивать воспроизводимость с помощью индекса воспроизводимости $C_p$. Он попросту не определен, и остается единственный индекс налаженности или настройки $C_{pk}$, который может быть использован. Более того, из двух частных индексов настройки смысл имеет только один, в зависимости от того, какая граница допуска определена. Частный индекс настройки для неопределенной границы допуска можно принять формально стремящимся к бесконечности. Тогда определение формально индекса $C_{pk}$ как минимума двух частных индексов сохраняется. Но теперь индекс $C_{pk}$ характеризует и настройку и воспроизводимость процесса.