A.1. Математическое ожидание и дисперсия

Характеризуя область типичных значений случайной величины $X$, чаще всего используют ее математическое ожидание $\ZMO$.

Для дискретной случайной величины с вероятностями $p_k$ значений $x_k$

$$\ZMO (X)=\sum_{k} x_k \cdot p_k.$$ (A.1)

А если случайная величина имеет плотность распределения $f(x)$, то

$$\ZMO (X)=\int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx.$$ (A.2)

Как известно из теории вероятностей [10], математическое ожидание случайной величины обладает свойством линейности. Это означает, что

• математическое ожидание суммы $n$ случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин и
• постоянный множитель $C$ может быть вынесен за знак математического ожидания.

Иными словами, если есть набор случайных величин $X_1, \dots, X_i, \dots, X_n$ и они имеют соответствующие математические ожидания  $\ZMO (X_1), \dots, \ZMO (X_i), \dots, \ZMO (X_n)$, то справедливо равенство

$$%\label{equation:M:sum:X} \ZMO \left(\sum_{i=1}^nC_i\cdot X_i\right)=\sum_{i=1}^nC_i\cdot \ZMO (X_i).$$ (A.3)

Кроме математического ожидания часто бывает необходимо знать величину типичного разброса случайной величины относительно математического ожилания. Использовать для этого можно стандартное отклонение $\sigma$, равное по определению корню из дисперсии $\ZDI$

$$\sigma(X)=\sqrt{\ZDI (X)}.$$ (A.4)

Сама дисперсия $\ZDI (X)$ любой случайной величины $X$ определяется как математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожидания, т. е.:

$$\ZDI (X)=\ZMO \left((X-\ZMO (X))^2 \right).$$ (A.5)

Очевидно, можно (A.5) переписать в виде

$$\ZDI (X)=\ZMO \left( X^2 -2\cdot X\cdot \ZMO (X) + (\ZMO (X))^2 \right).$$ (A.6)

Применяя к (A.6) свойство линейености математического ожидания (A.3) и учитывая, что $\ZMO (X)$ — это константа, находим выражение

$$\ZDI (X)=\ZMO (X^2) - (\ZMO (X))^2,$$ (A.7)

которое оказывается более удобным для вычислений.

Установим ещё одно свойство дисперсии. Если случайная величина $Z=C\cdot X$, где $C$ — константа, то согласно (A.7)

$$\ZDI (Z)=\ZMO (Z^2) - (\ZMO (Z))^2 =\ZMO (C^2\cdot X^2) -(\ZMO (C\cdot X))^2.$$ (A.8)

Используя свойство линености (A.3), обнаружим, что

$$\ZDI (Z)=C^2 \cdot \left(\ZMO (X^2) -(\ZMO (X))^2 \right)=C^2 \cdot \ZDI (X).$$ (A.9)

Для независимых случайных величин $(X_1, \ldots , X_i, \ldots , X_n)$ имеет место свойство аддитивности дисперсий или, как его называт, равенство Бьенэме [38]:

$$%{AG:Appl1-10} \ZDI (X_1+\ldots + X_i+ \ldots +X_n)= \ZDI (X_1)+ \ldots +\ZDI (X_i)+ \ldots + \ZDI (X_n).$$ (A.10)