A.2 О статистических оценках

В процессе управления качеством его различные показатели приходится отыскивать экспериментально. Это относится в первую очередь к характеристикам положения и рассеяния контролируемого параметра.

Положение центра распределения контролируемого параметра чаще всего характеризуют статистической оценкой $\mu^*$ математического ожидания. При получении последовательности $n$ результатов контроля $(x_1, \ldots , x_i, \ldots , x_n)$ для оценки $\mu^*$ применяют среднее арифметическое этих значений

$$\mu^*=\frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i.$$ (A.11)

Среди разнообразных оценок рассеяния, несомненно, самой употребительной стала оценка $s$ стандартного отклонения $\sigma$, которая по определению есть квадратный корень из дисперсии. Естественно, можно положить, что оценкой неизвестной дисперсии является выборочная дисперсия

$$S^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i -\bar{X})^2 =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_{i}^2 - (\bar{X})^2.$$ (A.12)

В курсах статистики [27] доказано, что эта оценка смещена и для коррекции смещения достаточно умножить $S^2$ на $n/(n-1)$. Поэтому искомая оценка рассеяния может быть вычислена как

$$s=\sqrt \frac{n}{n-1} \cdot \sqrt {S^2}$$ (A.13)

или более подробно

$$s=\sqrt \frac{n}{n-1} \cdot \sqrt {\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}X_{i}^2 - (\bar{X})^2}.$$ (A.14)

Для того, чтобы охарактеризовать близость точечных оценок (A.11) и (A.13) к неизвестным теоретическим значениям в статистике используют доверительные интервалы.

Доверительный интервал должен накрыть теоретическое значение с вероятностью  $p=(1-\alpha)$, которая близка к 1. Границы доверительного интервала, накрывающего математическое ожидание, определяются распределением Стьюдента. А доверительный интервал стандартного отклонения строят с помощьюю квантилей распределения  $\chi^2_{n-1}$.