20.1. Однородные размерые цепи

Особый интерес представляют так называемые однородные размерные цепи, которые были упомянуты в главе 19. Однородная размерная цепь характеризуется тем, что ее параметрическое уравнение, определяющее выходной параметр, представляет собою просто сумму $n$ одинаково распределенных величин

$$Y=X_1+\ldots+X_i+\ldots+X_n.$$ (20.1)

Тогда все коэффициенты чувствительности к абсолютным отклонениям одинаковы и равны единице. К таким размерным цепям относятся, например, последовательно соединенные резисторы, параллельно соединенные конденсаторы, последовательно соединенные нелинейные оксидно-цинковые резисторы ограничителей перенапряжений и вилитовые или тервитовые резисторы вентильных разрядников, последовательные цепные схемы формирователей импульсов для испытаний варисторов, при условии, что все используемые элементы имеют одинаковые допуски.

Для однородной размерной цепи составленной из $n$ элементов имеем уравнение чувствительности к абсолютным отклонениям

$$\Delta Y=\sum_{i=1}^n \Delta X_i.$$ (20.2)

С учетом того, что случайные величины $X_i$ одинаковы (и обозначены потому просто $\Delta X$ без индекса), свойство аддитивности дисперсий (19.13) позволяет написать

$$D(\Delta Y)=n\cdot D(\Delta X).$$ (20.3)

На основании определения стандартного отклонения имеем

$$\sigma(\Delta Y)=\sqrt{n}\cdot\sigma(\Delta X).$$ (20.4)

Непосредственно из определения относительных отклонений (17.8) и (17.9), свойств математического ожидания (19.9) и определяющего уравнения (20.1) следуют равенства

$$\delta Y=\frac{\Delta Y}{M(Y)}=\frac{\Delta Y}{n\cdot M(X)}.$$ (20.5)

Теперь с учетом (20.4) и (20.5) запишем цепь простых преобразований

$$\sigma(\delta Y)=\sigma\left(\frac{\Delta Y}{n\cdot M(X)}\right)=... ...}{n}\sigma\left(\frac{\Delta X}{M(X)}\right)=\frac{\sigma(\delta X)}{\sqrt{n}}.$$ (20.6)

Последнее равенство означает, что стандартное отклонение выходного параметра однородной $n$‑элементной размерной цепи в $\sqrt{n}$ раз меньше стандартного отклонения параметра индивидуального элемента размерной цепи. Это обстоятельство, в частности, широко используется для обеспечения точности рабочих и шунтирующих резисторов вентильных разрядников и рабочих резисторов ограничителей перенапряжений.

Предваряя возможное недоумение по поводу равенства (20.2), отметим, что при равенстве всех случайных величин  $\Delta X_i=\Delta X$, тем не менее, это равенство нельзя записать в виде

$$\Delta Y = \sum_{i=1}^n \Delta X= n\cdot\Delta X,$$

поскольку равенство (20.2) относится к случайным величинам и выражение  $\sum_{i=1}^n \Delta X$ означает сумму $n$ случайных реализаций одной величины, а  $n\cdot\Delta X$ означает умножение на $n$ одной реализации.