20.2. Допуски и условие соблюдения статистической взаимозаменяемости

Обычно использование принципа статистической взаимозаменяемости основано на предположении, что выходной параметр имеет случайные отклонения распределенные нормально. Риск выхода контролируемого выходного параметра за границы допуска традиционно ограничивают значением равным $0{,}0027$. (Вспомним, что это означает равенство индекса воспроизводимости $C_p=1$.) Если распределение отклонений подчинено нормальному закону, то при расположении математического ожидания отклонений в середине поля допуска выполнение основного условия статистической взаимозаменяемости (19.8) соответствует неравенству

$$\Delta_T Y\ge6\cdot\sigma(\Delta Y).$$ (20.7)

Действительно, при симметричном расположении поля допуска относительно центра распределения отклонений $\Delta Y$ верхнее отклонение  $ES=(1/2)6\sigma=3\sigma$. Вероятность выхода отклонений за эту границу определяется выражением

$$\Pr\{\Delta Y\ge ES\}=\Phi(3\cdot\sigma/\sigma)=\Phi(3)=0{,}00135.$$

Совершенно аналогично можно найти, что

$$\Pr\{\Delta Y\le EI\}=\Phi(3\cdot\sigma/\sigma)=\Phi(3)=0{,}00135.$$

Суммируя вероятности, полученные в двух последних равенствах, убеждаемся в том, что принцип (19.8) оказывается выполненным с риском  ${\alpha=0{,}0027}$.

Если все расчеты вести с относительными отклонениями и допусками, то вместо (20.7) необходимо записать условие соблюдения принципа взаимозаменяемости в виде

$$\delta_T Y\ge6\cdot\sigma(\delta Y).$$ (20.8)

Для составляющих параметров так же принимается условие, что риск выхода за границы их допусков не превосходит $0{,}0027$, и тогда в предположении нормальности распределения случайных отклонений аналогично (20.7) и (20.8) следует полагать выполненными неравенства

$$\Delta_T X_i\ge6\cdot\sigma(\Delta X_i)$$ (20.9)

для абсолютных отклонений каждого составляющего параметра и

$$\delta_T X_i\ge6\cdot\sigma(\delta X_i).$$ (20.10)

для относительных отклонений.

Если теперь, проведя тривиальное преобразование, переписать равенство (19.19) в виде

$$6\cdot\sigma(\Delta Y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n A_i^2\cdot\left(6\cdot\sigma(\Delta X_i)\right)^2},$$ (20.11)

то с учетом (20.7) и (20.9) получим условие обеспечения статистической взаимозаменяемости для абсолютных допусков:

$$\Delta_T Y\ge\sqrt{\sum_{i=1}^n A_i^2\cdot(\Delta_T X_i)^2}.$$ (20.12)

Аналогичное неравенство, получаемое из (19.20), (20.8) и (20.10),

$$\delta_T Y\ge\sqrt{\sum_{i=1}^n B_i^2\cdot(\delta_T X_i)^2}$$ (20.13)

должно соблюдаться для относительных допусков при обеспечении статистической взаимозаменяемости.