19.3. Числовые характеристики распределения отклонений выходного контролируемого параметра

Итак, для линейных функций независимых случайных величин соотношения (19.9), (19.11)‑(19.14) позволяют найти все главные числовые характеристики: математическое ожидание, стадартное отклонение и дисперсию. Иными словами, числовые характеристики случайной величины отклонений выходного параметра функциональной размерной цепи полностью определяются числовыми характеристиками случайных отклонений влияющих параметров и могут быть найдены, если уравнение чувствительности является линейным.

Как было показано в п.п. 17.1 и 17.2, уравнения чувствительности (17.7) и (17.14) к абсолютным и к относительным отклонениям могут быть записаны в форме

$$\Delta Y=A_1\cdot\Delta X_1+\dots+ A_i\cdot\Delta X_i+\dots + A_n\cdot\Delta X_n$$

и

$$\delta Y=B_1\cdot\delta X_1+\dots+ B_i\cdot\delta X_i+\dots + B_n\cdot\delta X_n,$$

где $A_i$ и $B_i$ — коэффициенты чувствительности к абсолютным и к относительным отклонениям.

На основании свойства математического ожидания суммы случайных величин (19.9) и уравнения (17.7) найдем выражение математического ожидания абсолютного отклонения выходного параметра:

$$M(\Delta Y)=\sum_{i=1}^n A_i\cdot M(\Delta X_i),$$ (19.15)

а согласно (19.9) и (17.14) — математического ожидания относительного отклонения выходного параметра:

$$M(\delta Y)=\sum_{i=1}^n B_i\cdot M(\delta X_i).$$ (19.16)

Используя равенство Бьенэме (19.13) и свойство дисперсий (19.12), из уравнений чувствительности (17.7) и (17.14) найдем дисперсии случайного абсолютного и случайного относительного отклонений выходного параметра в виде

$$D(\Delta Y)=\sum_{i=1}^n A_i^2\cdot D(\Delta X_i)$$ (19.17)

и

$$D(\delta Y)=\sum_{i=1}^n B_i^2\cdot D(\delta X_i).$$ (19.18)

На основании (19.14) и только что найденных дисперсий (19.17) и (19.18) получим стандартное отклонение случайного абсолютного отклонения

$$\sigma(\Delta Y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n A_i^2\cdot\sigma^2(\Delta X_i)}$$ (19.19)

и случайного относительного отклонения выходного параметра

$$\sigma(\delta Y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n B_i^2\cdot\sigma^2(\delta X_i)}.$$ (19.20)

Особый интерес представляют так называемые однородные размерные цепи. Размерную цепь будем считать однородной, если параметрическое уравнение, определяющее выходной параметр, представляет собою просто сумму $n$ одинаково распределенных величин. Кроме того, вероятностный принцип расчета допусков позволяет связать их с индексами качества. Все это — предмет рассмотрения в следующей главе.