19.4. Допуски для линеаризованной размерной цепи с двумя составляющими звеньями

Выше в п. 19.1 была рассмотрена задача определения области дозволенных допусков для размерной цепи с двумя составляющими звеньями при использовании метода наихудшего случая. Если для той же цели использовать вероятностный метод обеспечения статистической взаимозаменяемости, то область разрешенных допусков ограничивается кривой, задаваемой для относительных допусков уравнением

$$\delta_T^2 Y=B_1^2(\delta_T X_1)^2+B_2^2(\delta_T X_2)^2.$$ (19.21)

Очевидно, что это уравнение приводится к виду

$$1=\frac{(\delta_T X_1)^2}{\delta_T^2 Y/B_1^2}+\frac{(\delta_T X_2)^2}{\delta_T^2 Y/B_2^2}.$$ (19.22)

Последнее уравнение есть не что иное, как уравнение эллипса с полуосями  $\delta_T Y/B_1$ и $\delta_T Y/B_2$. Часть такого эллипса в правом квадранте системы координат  $\delta_T X_1,\delta_T X_2$ изображена на рис. 19.3, где для сравнения пунктиром проведена линия, ограничивающая сочетания допусков при использовании принципа полной взаимозаменяемости, т. е. метода наихудшего случая. Как видно, вероятностный принцип при весьма малом риске позволяет значительно расширить возможность выбора допусков составляющих звеньев размерной цепи.

Рис. 19.3. Границы областей допусков при полной (пунктир) и статистической взаимозаменяемости

На примере трехзвенной размерной цепи, т. е. цепи с двумя составляющими звеньями, можно рассмотреть ряд вопросов, касающихся назначения допусков на параметры составляющих элементов (звеньев). Такого рода задачи, как было сказано выше, относятся к типу проектных задач.

При решении проектных задач распределения допусков по составляющим элементам широко используются различные дополнительные принципы и, в частности, принципы оптимизации. Один из таких принципов состоит в следующем.

В многомерном пространстве допусков составляющих элементов размерной цепи с помощью плоскостей, ортогональных осям координат, строится многомерный параллелепипед (брус), вложенный в ортант положительных значений всех координат (допусков). Для того чтобы удовлетворить принципу взаимозаменяемости любой такой брус не может выходить за границу поверхности, определенной уравнением чувствительности. Среди таких возможных брусов, опирающихся одной из вершин на указанную поверхность, выбирается тот, который имеет или максимальный объем или максимальный периметр. Брус максимального объема обеспечивает наибольшую свободу выбора возможных сочетаний допусков [1].

В двумерном варианте задачи проектирования допусков (трехзвенной размерной цепи) область разрешенных сочетаний допусков составляющих звеньев представляет собою прямоугольный треугольник или четверть эллипса. Упомянутые принципы оптимизации в двумерной задаче сводятся к задаче отыскания прямоугольника, вписанного в соответствующую область и обладающего максимальной площадью или максимальным периметром.

При реализации принципа полной взаимозаменяемости область дозволенных допусков ограничена прямой, уравнение которой (19.6) найдено выше. Эта прямая отсекает на осях координат отрезки  $\delta_T Y/B_1$ и $\delta_T Y/B_2$. При некотором значении допуска  $\delta_T X_1=\mu\cdot(\delta_T Y/B_1)$ и $0\le\mu\le1$ точка, лежащая на граничной прямой (19.6) имеет координату  $\delta_T X_2=(1-\mu)\cdot\delta_T Y/B_2$, как это изображено на рис. 19.3. Поэтому площадь $F$ прямоугольника с вершиной, лежащей на прямой (19.6) равна

$$F=\mu\cdot(1-\mu)\cdot\frac{(\delta_T Y)^2}{B_1\cdot B_2}.$$ (19.23)

Обычный анализ на экстремум позволяет легко найти, что площадь прямоугольника максимальна, если $\mu=1/2$. Таким образом, максимизация объема вложенного бруса дает значения допусков параметров

$$\delta_T X_1=\frac{1}{2}\cdot\frac{\delta_T Y}{B_1}\ \ \delta_T X_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{\delta_T Y}{B_2}.$$ (19.24)

Для эллиптической границы 19.22, полученной при использовании принципа статистической взаимозаменяемости, так же найдем координаты вершины вписанного прямоугольника максимальной площади. При некотором значении допуска  $\delta_T X_1=u\cdot(\delta_T Y/B_1)$ точка, лежащая на эллиптической границе области, имеет координату $\delta_T X_2=\left(\sqrt{1-u^2}\,\right)\cdot(\delta_T Y/B_2)$ . Площадь вписанного прямоугольника окажется теперь равной

$$F=u\cdot\sqrt{1-u^2}\cdot\frac{(\delta_T Y)^2}{B_1\cdot B_2}.$$ (19.25)

Максимум этой площади достигается при значении  $u=\sqrt{2}/2$. Таким образом, использование принципа статистической взаимозаменяемости дает значения допусков

$$\delta_T X_1=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\delta_T Y}{B_1}\ \ \delta_T X_2=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\delta_T Y}{B_2}.$$ (19.26)

Эти допуски в $\sqrt{2}$ раз более свободные, чем для метода наихудшего случая, обеспечивающего полную взаимозаменяемость.

При использовании вероятностного метода возможно произвести назначение допусков, выполняя условие максимизации суммы допусков. Для этого выразим периметр $P$ прямоугольника, вписанного в область с эллиптической границей

$$P=u\frac{\delta_T Y}{B_1}+\sqrt{1-u^2}\frac{\delta_T Y}{B_2}.$$ (19.27)

Приравнивая нулю производную от $P$ по $u$

$$\frac{\delta_T Y}{B_1}-\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\frac{\delta_T Y}{B_2}=0,$$ (19.28)

найдем значение параметра $u_0$, максимизирующее $P$:

$$u_0=\frac{\frac{\delta_T Y}{B_1}}{\sqrt{\left(\frac{\delta_T Y}{B_1}\right)^2+\left(\frac{\delta_T Y}{B_2}\right)^2}}.$$ (19.29)

Соответствующие допуски примут значения

$$\delta_T X_J=\frac{\left(\frac{\delta_T Y}{B_J}\right)^2}{\sqrt{\left(\frac{\delta_T Y}{B_1}\right)^2+\left(\frac{\delta_T Y}{B_2}\right)^2}},$$ (19.30)

где $J\in\{1,2\}$.

Анализ многомерной задачи, проведенный в [1], позволяет получить методом множителей Лагранжа выражение, которое максимизирует сумму допусков

$$\delta_T X_i=\frac{\left(\frac{\delta_T Y}{B_i}\right)^2}{\sqrt{\sum_{i=1}^n\left(\frac{\delta_T Y}{B_i}\right)^2}}.$$ (19.31)

Методом замены координат там же найдено выражение допусков

$$\delta_T X_i=\frac{1}{\sqrt{n}}\frac{\delta_T Y}{B_i},$$ (19.32)

обеспечивающих максимальный объем вложенного бруса.

Необходимо отметить, что (в отличие от электротехники и автоматики) в машиностроении, где в основном встречаются геометрические размерные цепи, применяют специфические методы распределения допусков, основанные на принципах равной точности и равных допусков. Эти методы широко используются, хотя и не приводят к оптимальным решениям. Подробное изложение этих методов приведено в стандартах, посвященных геометрическим размерным цепям [19].