17.1. Линейные функции чувствительности

Функциональную связь отклонения выходного параметра $\Delta Y$ с набором отклонений влияющих величин $X_i$, т. е. функцию

$$\Delta Y=\Psi(\Delta X_1,\dots,\Delta X_i,\dots,\Delta X_n)$$ (17.1)

называют функцией чувствительности.

Если функция параметрической цепи $\varphi$ достаточно проста, то функцию чувствительности $\Psi$ можно получить непосредственно.

Самым простым видом функций параметрических цепей являются линейные функции, которые в частности описывают, как уже известно, линейные геометрические размерные цепи. Пусть замыкающий размер, который и есть контролируемый выходной параметр $Y$, связан линейной функцией с размерами составляющих звеньев $X_i$. Тогда соответствующее уравнение параметрической цепи имеет известный вид

$$Y=\sum_{i=1}^n\xi_i\cdot X_i,$$ (17.2)

где, как и выше в (16.2), $\xi_i$ — передаточные отношения.

Общее уравнение (16.7) для этой линейной функции примет форму

$$Y=Y_N+\Delta Y=\sum_{i=1}^n\xi_i\cdot\left(X_{iN}+\Delta X_i\right)= \sum_{i=1}^n\xi_i\cdot X_{iN}+\sum_{i=1}^n\xi_i\cdot \Delta X_i$$

и, поскольку из (17.2) следует, что

$$Y_N=\sum_{i=1}^n\xi_i\cdot X_{iN},$$

получим уравнение чувствительности линейной функции

$$\Delta Y=\sum_{i=1}^n\xi_i\cdot \Delta X_i.$$ (17.3)

Это уравнение справедливо для всех линейных геометрических размерных цепей и оно означает, что передаточные отношения составляющих звеньев линейной размерной цепи суть передаточные отношения отклонений, а отклонение замыкающего звена есть линейная функция отклонений составляющих звеньев.

Рассмотрим более сложную функцию параметрической размерной цепи. В качестве примера отыщем уравнение чувствительности постоянной времени $\tau$ цепи задержки полупроводникового реле времени. Обычно такая цепь выполняется в виде последовательно соединенных резистора с сопротивлением $R$ и конденсатора, емкость которого $C$. При этом уравнение выходного контролируемого параметра (постоянной времени), т. е. параметрическое уравнение функциональной цепи есть

$$\tau=\varphi(R,C)=R\cdot C.$$

При номинальных значениях сопротивления $R_N$ и емкости $C_N$ и при отклонениях $\Delta R$ и $\Delta C$ можно найти точное выражение для отклонения  $\Delta\tau$. Действительно имеем

$$\tau=\tau_N+\Delta\tau=(R_N+\Delta R)\cdot(C_N+\Delta C)$$

или

$$\tau=\tau_N+\Delta\tau=R_NC_N+R_N\Delta C+C_N\Delta R+\Delta R\Delta C.$$

Учитывая, что $\tau_N=R_N\cdot C_N$, найдем точное выражение функции чувствительности

$$\Delta\tau=\Psi(\Delta R,\Delta C)=R_N\Delta C+C_N\Delta R+\Delta R\Delta C.$$

Анализируя эту функцию, легко сделать вывод, что при малых отклонениях $\Delta R$ и $\Delta C$ можно пренебречь их произведением и получить простое линейное приближение функции чувствительности

$$\Delta\tau=\Psi(\Delta R,\Delta C)\approx R_N\Delta C+C_N\Delta R.$$