17.2. Чувствительность к абсолютным и относительным отклонениям

Отыскание функции чувствительности $\Psi$ по заданному уравнению параметрической цепи можно существенно упростить при некоторых предположениях. В частности, если предположить, что отклонения  $\Delta X_i$ всех влияющих параметров достаточно малы по сравнению с их номинальными значениями $X_{i,N}$, то можно применить разложение функции (16.6) в ряд Тейлора в окрестности точки $Y_N$. Это разложение функции многих переменных выражается следующим бразом [8]:

$$\begin{split} Y=Y_N+\Delta Y=&\varphi\left[(X_{1N}+\Delta X_1... ...rt _{X_N} \cdot\Delta X_i\cdot\Delta X_k+\dots+R_m. \end{split}$$

Сформулированное выше допущение о том, что отклонения малы по сравнению с номиналами, позволяет пренебречь в полученном разложении остаточным членом $R_m$ и всеми членами, содержащими произведения отклонений, их квадраты и более высокие степени. Такое пренебрежение членами, начиная со второго порядка малости, называется линеаризацией, потому что получаемое в результате уравнение линейно относительно отклонений. Оно имеет вид

$$\begin{split} Y_N+\Delta Y=&\varphi(X_{1N},\dots,X_{iN},\dots... ...+\dots+A_i\cdot\Delta X_i+\dots+A_n\cdot\Delta X_n, \end{split}$$ (17.4)

где величины $A_i$, определяемые как

$$A_i=\left.\frac{\partial\varphi}{\partial X_i}\right\vert _{X_N}$$ (17.5)

называются коэффициентами влияния или коэффициентами чувствительности к абсолютным отклонениям. Эти величины являются обобщением выше введенных передаточных отношений $\xi_i$, применяемых в теории геометрических размерных цепей.

Поскольку в соответствии с (16.6) имеем

$$Y_N=\varphi(X_{1N},\dots,X_{iN},\dots,X_{nN}),$$ (17.6)

можно из (17.4) получить функцию чувствительности к абсолютным отклонениям

$$\Delta Y=A_1\cdot\Delta X_1+\dots+ A_i\cdot\Delta X_i+\dots + A_n\cdot\Delta X_n=\sum_{i=1}^nA_i\cdot\Delta X_i.$$ (17.7)

Кроме абсолютных отклонений при анализе чувствительности и при задании допусков параметров электротехнических изделий используют относительные отклонения от номинальных значений. Относительные отклонения будем обозначать $\delta Y,\delta X_1,\dots,\delta X_i,\dots,\delta X_n$ и введем их определения следующими равенствами:

$$\delta Y =\frac{\Delta Y}{Y_N}$$ (17.8)

и

$$\delta X_i =\frac{\Delta X_i}{X_{iN}}.$$ (17.9)

Очевидно, что наряду с функцией чувствительности к абсолютным отклонениям (17.1) должна существовать и функция чувствительности к относительным отклонениям, связывающая относительные отклонения выходного параметра и всех влияющих параметров

$$\delta Y = \Psi_\delta(\delta X_1,\dots,\delta X_i,\dots,\delta X_n).$$ (17.10)

Для получения конкретного вида функции (17.10) можно преобразовать тождественно уравнение (17.7), умножив каждый член правой части под знаком суммы на  $X_{i,N}/X_{i,N}=1$ и разделив обе части уравнения на $Y_N$. Такое преобразование приведет к функции

$$\frac{\Delta Y}{Y_N}=\sum_{i=1}^{n}A_i\frac{X_{i,N}}{Y_N}\cdot\frac{\Delta X}{X_{i,N}}.$$ (17.11)

Принимая во внимание определения (17.8) и (17.9), получим выражение

$$\delta Y=\sum_{i=1}^{n}\left(A_i\frac{X_{i,N}}{Y_N}\right)\cdot\delta X_i$$ (17.12)

Появившиеся в этом равенстве множители вида

$$B_i=A_i\cdot\frac{X_{i,N}}{Y_N}$$ (17.13)

называются коэффициентами чувствительности к относительным отклонениям. Теперь функция чувствительности к относительным отклонениям примет форму

$$\delta Y=\sum_{i=1}^{n}B_i\cdot\delta X_i$$ (17.14)

линеаризованного уравнения. В этом уравнении коэффициенты чувствительности на основании (17.13) и (17.5) можно представить следующим образом:

$$B_i=\left.\frac{\partial\varphi}{\partial X_i}\right\vert _{X_N}\cdot\frac{X_{i,N}}{Y_N}.$$ (17.15)

При расчете допусков с целью обеспечения взаимозаменяемости всегда приходится использовать коэффициенты чувствительности к абсолютным или относительным отклонениям. И, хотя формально эти коэффициенты определяются просто, необходимо овладеть способом их получения, расчета и составления уравнений чувствительности.