9.3. Вероятность выхода за границу карты

Итак, при построении контрольных карт средних арифметических значений выборок объема $n$ полагают, что эти значения $S_n/n$ распределены нормально с математическим ожиданием  $\bar{\bar{x}}$ и стандартным отклонением $\sigma/\sqrt{n}$.

Вероятность того, что такая нормально распределенная случайная величина $S_n/n$ примет значение больше некоторого граничного значения $x_{fr}$ определяется как

$$\Pr\left\{(S_n/n)>x_{fr}\right\}=1-\Phi\left(\frac{x_{fr}-\bar{\bar{x}}}{\sigma/\sqrt{n}}\right),$$ (9.7)

где $\Pr\{B\}$ означает вероятность события $B$, а

$$\Phi(z)=\left(1/\sqrt{2\pi}\right)\cdot\int\limits_{-\infty}^z\exp(-y^2/2)dy$$

нормированная функция нормального распределения [35]^9.1.

Если $x_{fr}$ соответствует, например, границе $UCL$, то вероятность, записанная выше в виде (9.7), есть вероятность появления сигнала о выходе за верхнюю границу.

При значении $UCL$, определяемом(8.11) и $Z_p=3$, если процесс стабилен и воспроизводим, найдем значение вероятности ложной тревоги превышения верхней границы карты

$$\Pr\left\{(S_n/n)>UCL\right\}= 1-\Phi\left(\frac{(\bar{\bar{x}}+3\sigma/\sqrt{n})-\bar{\bar{x}}}{\sigma/\sqrt{n}}\right)= 1-\Phi(3)=0{,}00135.$$

Для такого стабильного и воспроизводимого процесса эта вероятность есть вероятность (риск) ложной тревоги.

Аналогично, в силу симметрии нормального распределения, получим значение риска появления ложного сигнала о выходе за нижнюю границу

$$\Pr\left\{(S_n/n)<LCL\right\}=\Phi(-3)=1-\Phi(3)=0{,}00135.$$

Таким образом, вероятность появления сигнала «тревоги», т. е. вероятность выхода среднего арифметического выборки за верхнюю или нижнюю границу, окажется равной по теореме сложения вероятностей  $\alpha=0{,}0027$.