9.4. Вероятность тревоги при смещении настройкии и нарушении воспроизводимости процесса

В общем случае разлаженность процесса может сопровождаться как изменением математического ожидания, так и увеличением дисперсии случайной величины контролируемого параметра.

Пусть смещение настройки привело к тому, что среднее значение контролируемого параметра вместо $\bar{\bar{x}}_N$ стало равным новому рабочему значению  $\bar{\bar{x}}_e$. Предположим ещё, что и стандартное отклонение параметра генеральной совокупности изготавливаемых изделий вместо $\sigma_N$ изменилось и равно в разлаженном процессе $\sigma_e$. Тогда вероятность того, что среднее арифметическое выборки окажется вне границ карты можно, согласно (9.7), представить в виде

$$p_r=\Pr\left\{\frac{S_n}{n}<LCL\right\}+\Pr\left\{\frac{S_n}{n}>UCL\right\}.$$ (9.8)

С учетом реальных значений математического ожидания и стандартного отклонения разлаженного процесса и нормальности распределения среднего арифметического выборки получим вероятность появления сигнала тревоги

$$p_r=\Phi\left(\frac{LCL-\bar{\bar{x}}_e}{\sigma_e/\sqrt{n}}\right)+1- \Phi\left(\frac{UCL-\bar{\bar{x}}_e}{\sigma_e/\sqrt{n}}\right).$$ (9.9)

При появлении такого сигнала на контрольной карте следует принять решение об остановке процесса.

Но о возможной разлаженности процесса производства в ближайшем будущем было бы лучше получить сигнал заранее. Это можно сделать, если на контрольной карте, кроме контрольных границ провести ещё и предупредительные границы.

Предупредительные границы проводят так, чтобы риск ложного предупреждения был равен $0{,}025$. Обозначим эти границы $UWL$ (Upper Warning Limit) и $LWL$ (Lower Warning Limit). Значение $Z$, при котором $\Phi( Z ) = 1-0{,}025 = 0{,}975$, есть

$$Z_{0{,975}}=1{,}96.$$ (9.10)

Тогда, используя (8.11) и (8.12), запишем

$$UWL = CL+1{,}96\cdot\sigma^*/\sqrt{n},$$ (9.11)

$$LWL = CL-1{,}96\cdot\sigma^*/\sqrt{n}.$$ (9.12)

Для оценки $\sigma^*$ стандартного отклонения можно применить значения, получаемые в соответствии с (8.8) или (8.9).