8.3. Предварительное изучение процесса для создания карт Шьюхарта

Для построения контрольной карты необходимо задать ее главные параметры: центральную линию и контрольные границы. Эти данные, если они не известны заранее из предыдущего опыта производства, получают, проводя предварительное изучение технологического процесса.

Обычно предварительное изучение технологического процесса проводят на таких объемах выборки, которые предполагают использовать в дальнейшем при управлении качеством. Объем выборки $n$ чаще всего должен лежать в пределах от 3 до 10. Для предварительного исследования назначают число выборок $m$ от 15 до 30.

Предпочтительно, чтобы общее число проконтролированных на этой стадии изделий ${m\times n}$ было не менее 75.

Для предварительного изучения все данные контроля фиксируют в таблице, шаблон которой приведен ниже в табл. 8.1. Пример фиксации полученнных данных и расчетных значений приведен в табл. A.3 приложения A.

Таблица 8.1. Шаблон предварительного исследования для построения контрольной карты Шьюхарата

Обозначим номер очередной выборки индексом $i$, а очередное значение измеренного признака в данной выборке индексом $j$. Тогда $x_{ij}$ — это значение контролируемого признака, полученное на $j$‑ом изделии $i$‑ой выборки. На стадии предварительного исследования для каждой $i$‑ой выборки могут быть найдены числовые характеристики выборки (их называют статистиками выборки).

Среди этих статистик наиболее важны

• среднее арифметическое $\bar{x}_i$, часто называемое средним выборочным;
• размах выборки $R_i$;
• выборочное стандартное отклонение $s_i$;
• медиана $\tilde{x}_i$.

Для выборок небольшого объема не требуется обычно упорядочения, а наибольшее и наименьшее значения легко определяются «на взгляд». Знание этих экстремальных значений позволяет найти размах выборки, который по определению есть

$$R_i = x_{i,max}-x_{i,min}.$$ (8.1)

Среднее выборочное значение рассчитывается, исходя из выражения

$$\bar{x}_i = \frac{\sum_{j=1}^{n}x_{ij}}{n},$$ (8.2)

а стандартное отклонение

$$s_i=\sqrt{\frac{\sum_{j=1}^{n}(x_{ij}-\bar{x}_i)^2}{n-1}}.$$ (8.3)

По результатам анализа всех $m$ выборок можно найти общее среднее значение признака

$$\bar{\bar{x}} = \frac{\sum_{i=1}^{m}\bar{x}_i}{m}$$ (8.4)

и стандартное отклонение

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{m}\left( \sum_{j=1}^{n}(x_{ij}-\bar{\bar{x}})^2 \right)}{(mn-1)}},$$ (8.5)

которое принимают в качестве оценки стандартного отклонения генеральной совокупности. Эту оценку будем обозначать $\sigma^*$.

Выражение для стандартного отклонения громоздко и для оценки воспроизводимости процесса, характеризуемой стандартным отклонением, применяют оценки, получаемые на основе среднего размаха

$$\bar{R} = \frac{\sum_{i=1}^{m}R_i}{m}$$ (8.6)

или среднего арифметического значения выборочных стандартных отклонений

$$\bar{s} = \frac{\sum_{i=1}^{m}s_i}{m}.$$ (8.7)

В математической статистике доказано [66], что оценки стандартного отклонения могут быть получены из следующих соотношений

$$\sigma^* = \frac{\bar{s}}{c_2^*},$$ (8.8)

$$\sigma^* = \frac{\bar{R}}{d_2}.$$ (8.9)

Коэффициенты $c_2^*$ и $d_2$ зависят от объема выборки $n$. Коэффициент $d_2$ называют константой преобразования Хартли. Значения этих коэффициентов приведены в [40,66] и в Приложении A.