Приложение A. Расчет границ карт Шьюхарта упрощенными методами

Для упрощенных вычислений стандартного отклонения совокупности выборок предварительного исследования производства используют формулы (8.8) и (8.9). Входящие в них коэффициенты зависят от объема выборки $n$. Коэффициент $d_2$ называют константой преобразования Хартли. Значения этих коэффициентов приведены в табл. A.1. Данные для этой таблицы взяты из [66] и Приложений к [12].

Таблица A.1. Коэффициенты $c_2^*$ и $d_2$ для традиционных значений $n$ объемов выборки

Как показано в 8.4, расчет границ регулирования карт средних арифметических и размахов может быть упрощен. При этом используют коэффициенты $A_2$, $B_2$, $D_3$ и $D_4$, фигурирующие в формулах (8.14), (8.17), (8.19) и (8.20). Значения этих коэффициентов приведены в табл. A.2.

Таблица A.2. Коэффициенты $A_2$, $B_2$, $D_3$, $D_4$ и $\tilde {A}_2$ для традиционных значений $n$ объемов выборки

И теперь приведем пример заполнения таблицы предварительного исследования и расчета границ регулирования в производстве электромагнитных реле.

В таблице A.3 приведены выборочные значения $x_{i,j}$ двадцати выборок, в каждой из которых представлены значения напряжения срабатывания пяти электромагнитных реле напряжения. Для каждой $i$‑ой выборки по формулам (8.2), (8.1), и (8.3) расчитаны среднее значение выборки $\bar{x}_i$, ее размах $R_i$, стандартное отклонение $s_i$ и медиана  $\tilde{x}_i$.

Таблица A.3. Данные предварительного исследования в производстве электромагнитных реле напряжения

В нижней строке таблицы A.3 расчитаны суммы столбцов, которые позволяют найти необходимые общие средние

$$\bar{x} = 378{,}86/20 = 18{,}94,$$ (A.1)

$$\bar{R} = 49/20 = 2{,}45,$$ (A.2)

$$\bar{s} = 19{,}072/20 = 0{,}9536.$$ (A.3)

Значения среднего размаха и среднего стандартного отклонения позволяют вычислить приближенные оценки генерального стандартного отклонения. Таких оценок можно найти две по формулам (8.9) и (8.8), используя коэффициенты таблицы A.1:

$$\sigma^* = \bar{s}/c_2^* = 0{,}9536/0{,}94 = 1{,}0145,$$ (A.4)

$$\sigma^* = \bar{R}/d_2 = 2{,}45/2{,}326 = 1,053.$$ (A.5)

И теперь с помощью формул (8.10), (8.11) и (8.12) находят искомые характерные значения контрольной карты. Центральная линия

$$CL = \bar{x} = 18{,}9.$$

Верхняя контрольная граница

$$UCL = CL + 3\sigma^*/\sqrt{n} = 18{,}9+3\times1{,}053/\sqrt{5} = 20{,}3.$$

Нижняя контрольная граница

$$LCL=CL - 3\sigma^*/\sqrt{n} = 18{,}9 - 3\times1{,}053/\sqrt{5}=17{,}5.$$

Конечно, если использовать значения коэффициента  ${A_2 = 0{,}577}$ упрощенной методики из таблицы A.2 при ${n=5}$, то получатся те же значения границ регулирования контрольной карты на основе 8.14

$$UCL = CL + A_2 \times \bar{R} = 18{,}9 + 0{,}577\times 2{,}45 = 20{,}3,$$

$$LCL = CL - A_2 \times \bar{R} = 18{,}9 - 0{,}577 \times 2{,}45 = 17{,}5.$$

И такие же результаты можно получить, если применить в качестве характеристики воспроизводимости оценку генерального стандартного отклонения. При этом надо воспользоваться значением коэффициента $B_2$ из таблицы A.2. Действительно при ${n=5}$ ${B_2 = 1{,}427}$ и на основе (8.17)

$$UCL = CL + B_2 \times \bar{s} = 18{,}9 + 1{,}427 \times 0{,}9536 = 20{,}3,$$

$$LCL = CL - B_2 \times \bar{s} = 18{,}9 - 1{,}427 \times 0{,}9536 = 17{,}5.$$

Предварительное исследование процесса завершают построением двух шаблонов карты средних арифметических с нанесением всех точек из таблицы предварительного исследования (рис. A.1) и карты размахов со всеми размахами выборок предварительного исследования (рис. A.2).

Рис. A.1. Контрольная карта средних арифметических (предварительное исследование)

Рис. A.2. Контрольная карта размахов (предварительное исследование)

Если все точки на обеих картах лежат в контрольных границах, то границы принимают для рабочих карт.

На приведенных рисунках видно, что все точки предварительного исследования лежат в границах и потому эти границы могут быть приняты для построения карт реального процесса.

Как замечено в главе 8, иногда целесообразно использовать карту медиан, пример которой приведен на рис. A.3. Поэтому при предварительном исследовании в таблицу A.3 внесен столбец медиан. В каждой строке этого столбца содержится медиана соответствующей выборки.

Рис. A.3. Контрольная карта медиан (предварительное исследование)

Границы карты медиан могут быть расчитаны по нижеследующим формулам

$$UCL = a + z_\alpha\cdot\sqrt{\frac{\pi}{2\cdot n}}\cdot\sigma,$$ (A.6)

$$LCL = a - z_\alpha\cdot\sqrt{\frac{\pi}{2\cdot n}}\cdot\sigma.$$ (A.7)

Как и обычно в тексте главы 8, в формулах (A.6) и (A.7) верхняя граница обозначена $UCL$, а нижняя — $LCL$. Численность мгновенной выборки обозначена $n$, а $\sigma$ — это оценка стандартного отклонения всей совокупности наблюденных значений. Величина $a$ задает положение центральной линии карты медиан. В качестве этой величины выбирается медиана всех медиан выборок.

В рассмотренном примере (табл. A.3) эта медиана определена как середина между точками 10 и 11 упорядоченного списка медиан. Её значение оказалось равным 18,75.

Если оценка стандартного отклонения не вычислена, то можно использовать приближенные формулы

$$UCL = \tilde{\tilde{x}} + \tilde{A}_2\cdot \tilde{R},$$ (A.8)

$$LCL = \tilde{\tilde{x}} - \tilde{A}_2\cdot \tilde{R}.$$ (A.9)

В формулах (A.8) и (A.9) явно указана медиана медиан выборок в качестве центральной линии карты, а границы карты определены с помощью медианы размахов $\tilde{R}$ и коэффициента  $\tilde {A}_2$, значения которого заданы в табл. A.2.

Для границ карты рассматриваемого примера медиана размахов  ${\tilde{R}=2{,}45}$, а коэффициент  ${\tilde{A}_2=0{,}72}$. Тогда имеем ${UCL=20{,}51}$, ${LCL=16{,}99}$.

Все медианы предварительного исследования не выходят за предписанные этими равенствами границы. Поэтому такие границы можно использовать для карт медиан.