11.2. Оперативная характеристика одноступенчатого плана контроля

Одноступенчатый (или одновыборочный) план контроля характеризуется (см. главу 10) значением численности $n$ единственной выборки, приемочным числом $Ac$ и браковочным числом $Re$.

Решение о приемке партии изделий принимается, если после контроля всех изделий выборки число обнаруженных дефектных изделий $d$ не превосходит приемочного числа, т. е. удовлетворяет неравенству

$$d \le Ac.$$ (11.4)

Используя приближение Пуассона (как это показано в предыдущей главе), можно записать вероятность приемки партии как вероятность выполнения этого неравенства

$$\Pr\left\{S_{n,Be}<Ac\right\} = \sum_{d=0}^{Ac}\left[\binom{n}{d}\cdot p^d q^{n-d}\right] \approx \sum_{d=0}^{Ac}\Psi(d,\lambda).$$ (11.5)

Таким образом, оперативная характеристика одновыборочного плана контроля может быть задана функцией

$$L(p) \approx \sum_{d=0}^{Ac}\Psi(d;\lambda).$$ (11.6)

Напомним, что параметр $\lambda$ распределения Пуассона (интенсивность дефектов в предъявленной партии) определен как  $\lambda=n\cdot p$.

Если в плане одноступенчатого контроля принято значение нуль для приемочного числа $Ac$, то такой план называют планом бездефектного контроля. При прочих равных условиях такой план предъявляет самые жесткие требования к качеству изделий в партии.

Оперативная характеристика бездефектного контроля в приближении Пуассона определяется выражением

$$L(p) = e^{-np},$$ (11.7)

которое следует непосредственно из (11.6) при подстановке в качестве верхнего предела суммы значения ${Ac=0}$.

График этой оперативной характеристики представлен на рис. 11.2.

Рис. 11.2. Оперативная характеристика плана бездефектного контроля

Касательная к этому графику, проведенная в начале координат при $p=0$ пересекает ось абсцисс в точке $p=1/n$. Очевидно, в этой точке значение вероятности приемки — ордината оперативной характеристики равна

$${\left.L(p)\right\vert _{p=1/n}=e^{-1}=1/e.}$$ (11.8)

Для этого выборочного плана уровень безразличного качества найдется как решение уравнения

$$\frac{1}{2}=e^{-np},$$ (11.9)

которое, очевидно, есть

$$p_{0{,}5}=\frac{\ln2}{n}.$$ (11.10)

Оперативная характеристика одоступенчатых планов с приемочным числом единица также представляет интерес потому, что к этому плану обыкновенно переходят от жесткого бездефектного контроля, когда подряд несколько партий принимают при его проведении.

После подстановки в (11.6) значения $Ac=1$ в верхний предел суммы получаем оперативную характеристику плана контроля с приемочным числом 1 в виде

$$L(p)=e^{-np}+np\cdot e^{-np}.$$ (11.11)

Найдем первую и вторую производную этой функции

$$\frac{dL(p)}{dp} = -n^2\cdot p\cdot e^{-np},$$ (11.12)

$$\frac{d^2L(p)}{dp^2} = e^{-np}n^2(np-1).$$ (11.13)

Из (11.12) следует, что в точке $(0,1)$ оперативная характеристика имеет максимум и горизонтальную касательную. Приравняв нулю (11.13), найдем значение доли брака $p=1/n$, при котором оперативная характеристика имеет точку перегиба. Сама функция (11.11) при такой доле дефектности оказывается равной $2/e$. Таким образом, ординаты точек перегиба всех оперативных характеристик планов с приемочным числом 1 находятся на одном и том же уровне.

Вид нескольких оперативных характеристик планов контроля с приемочным числом 1 и разными значениями численности выборки представлен на рис. 11.3.

Рис. 11.3. Оперативные характеристики планов контроля с приемочным числом 1 при различных значениях численности выборки. (На оси «p — доля брака» обозначены абсциссы точек перегиба оперативных характеристик)