12.3. Среднее выходное качество

Одноступенчатый план контроля с разбраковкой предусматривает переход к сплошному контролю, если число $d$ обнаруженных дефектных изделий в выборке превосходит приемочное число $Ac$.

При таком плане контроля, когда партия принимается по результатам проверки изделий в выборке, оставшаяся часть партии не контролируется и в ней содержится некоторое количество бракованных изделий. Если же партия подвергается разбраковке, то негодных изделий в поставке потребителю нет. И то, и другое событие появляются случайно. Таким образом, число проникших к потребителю дефектных изделий является случайной величиной $U$, которая и называется выходным качеством. Чем больше значение $U$, тем хуже партия, попавшая к потребителю: в ней больше дефектных изделий. Распределение, этой случайной величины задается табл. 12.2.

Таблица 12.2. Распределение случайной величины выходного качества

Имея значения случайной величины $U$ и их вероятности, найдем математическое ожидание [35] выходного качества:

$$E[U]=(N-n)\cdot p\cdot L(p) + 0 \cdot \left(1-L(p)\right)=(N-n)\cdot p\cdot L(p).$$ (12.5)

Это математическое ожидание называют средним выходным качеством. Как было указано выше, в международных стандартах эту величину обозначают $AOQ$. Таким образом, имеем

$$AOQ=(N-n)\cdot p\cdot L(p).$$ (12.6)

Рассматривая среднее выходное качество, как функцию доли брака в партии $p$, можно видеть, что значение этой функции пропорционально площади прямоугольника на графике оперативной характеристики плана контроля $L(p)$ с основанием длиной $p$ на оси абсцисс и высотой, равной значению $L(p)$. На рисунке 12.2 такой прямоугольник заштрихован. При очень малых значениях $p$ площадь прямоугольника очень мала. При увеличении доли брака эта площадь увеличивается, но только до известных пределов, потому что при очень больших значениях доли брака площадь прямоугольника выходного качества становится малой за счет резкого уменьшения его высоты.

Рис. 12.2. Оперативная характеристика плана контроля и прямоугольник выходного качества

Приведенный простой качественный анализ поведения среднего выходного качества при изменении доли брака приводит к утверждению, что величина $AOQ$ ограничена сверху и имеет максимум. Этот максимум называют пределом среднего выходного качества и обозначают в соответствии с принятыми международными стандартами $AOQL$^12.3. Обратим внимание на то, что предел среднего выходного качества характеризует в среднем наихудшие партии продукции, проникающие к потребителю при заданном плане контроля. Характер изменения предела среднего выходного качества для различных значений численности партии приведен на рис. 12.3.

Рис. 12.3. Изменение среднего выходного качества в функции доли дефектных изделий. ($N$ — численность партии; численность выборки ${n=100}$, приемочное число ${Ac=1}$)

Доля брака в партии продукции, при которой достигается предел среднего выходного качества, называется критической долей брака. Условие достижения максимума среднего выходного качества, как функции доли брака, запишется очевидно в виде

$$\frac{d}{dp}(AOQ)=0.$$ (12.7)

Подставив в (12.7) выражение (12.6), перейдем от (12.7) к

$$\frac{d}{dp}\left((N-n)\cdot p\cdot L(p)\right)=(N-n)\cdot\left(L(p)+p\cdot L'(p)\right)=0.$$ (12.8)

Поскольку множитель $(N-n)$ не равен нулю, уравнение для критической доли брака $p_$_кр преобразуется к

$$L(p)+p\cdot L'(p)=0.$$ (12.9)

Если переписать (12.9) в виде

$$\frac{L(p_\text{кр})}{p_\text{кр}}=-L'(p_\text{кр}),$$ (12.10)

то легко видеть, что при критической доле брака касательная к оперативной характеристике и диагональ прямоугольника выходного качества со сторонами $p$ и $L(p)$ параллельны. Это свойство критической доли брака иллюстрирует рис. 12.4.

Действительно, с одной стороны,

$$\tg\alpha = \frac{L(p_\text{кр})}{p_\text{кр}},$$

а с другой,

$$\tg\alpha = -L'(p_ ).$$

Рис. 12.4. Свойство касательной к оперативной характеристике в критической точке

Когда известно, аналитическое выражение оперативной характеристики, в некоторых случаях, удается решить явно уравнение (12.9). Подставив найденное критическое значение в уравнение для $AOQ$, можно вычислить $AOQL$. Примеры таких вычислений представлены ниже.