12.4. Критические значения доли брака для планов одноступенчатого контроля с приемочным числом нуль или единица

При бездефектном контроле аппроксимация Пуассона оперативной характеристики, как показано в предыдущей главе, задается уравнением (11.7):

$$L(p) = e^{-np},$$

где, как обычно, $n$ — объем выборки, $p$ — доля брака в партии изделий.

Подставив (11.7) в уравнение (12.9) для отыскания критического значения доли брака, получим

$$e^{-np} + p\cdot\left(e^{-np}\right)'=0.$$ (12.11)

Дифференцируя, перейдем к

$$e^{-np} - np\cdot e^{-np}=0.$$ (12.12)

Из (12.12) следует, что критическое значение доли дефектов удовлетворяет равенству

$$1-np=0.$$ (12.13)

Итак, имеем

$$p_ =\frac{1}{n}.$$ (12.14)

Теперь, очевидно, предел среднего выходного качества бездефектного контроля можно найти, подставив (11.7) и (12.14) в (12.6):

$$AOQL=(N-n)\cdot p_ \cdot L(p_ )=(N-n)\frac{1}{n}e^{-1} = \frac{N-n}{n\cdot e} \approx 0{,}368\frac{N-n}{n}.$$ (12.15)

План контроля с приемочным числом единица имеет аппроксимацию Пуассона оперативной характеристики (11.11)

$$L(p)=e^{-np}+np\cdot e^{-np},$$

которая была найдена в предыдущей главе. Поскольку

$$\left(e^{-np}+np\cdot e^{-np}\right)'=-n^2p\cdot e^{-np},$$

уравнение для критической доли брака (12.9) примет вид

$$e^{-np}+np\cdot e^{-np}-n^2p^2e^{-np}=0.$$ (12.16)

Введя, как в предыдущих главах, обозначение ${\lambda=np}$, для критического значения этого параметра получим квадратное уравнение

$$-\lambda^2+\lambda+1=0.$$ (12.17)

Положительный корень этого уравнения

$$\lambda_ =n\cdot p_ =\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1{,}618.$$

Предел среднего выходного качества одноступенчатого плана контроля с приемочным числом единица найдем, подставив (11.11) и ${p_\text{кр}=1{,}618/n}$ в (12.6):

$$AOQL=(N-n)\frac{1{,}618}{n}\cdot e^{-1{,}618}\cdot(1+1{,}618)\approx0{,}84\frac{N-n}{n}.$$ (12.18)

Если использовать введенное выше понятие минимального относительного объема контроля ${\nu=n/N}$ , то из (11.11) и (12.18) следует, что именно параметр $\nu$ существенно влияет на предел среднего выходного качества $AOQL$.

В частности при минимальной доле контроля $0{,}1$ предел среднего выходного качества бездефектного контроля равен $3{,}31$, а если приемочное число увеличить до единицы, то предел среднего выходного качества возрастет до $7{,}56$. Графики, приведенные на рис. 12.5 показывают как меняется предел среднего выходного качества в зависимости от минимальной доли контроля при использовании планов бездефектного контроля и одноступенчатого плана с приемочным числом ${Ac=1}$^12.4.

Рис. 12.5. Зависимости предела среднего выходного качества — AOQL от минимальной доли контроля — $\nu$

В заключение отметим, что именно предел среднего выходного качества положен в основу выбора планов контроля во многих национальных стандартах.