5.4.1. Условия применения и контрольные границы $C$‑карт

Контрольные карты числа дефектов применяют, когда дефекты распределены случайно по длине, площади или объему изделия. Например, это могут быть дефекты, распределенные по длине сварного шва, дефекты эмалевой изоляции, распределенные по длине обмоточного провода, газовые пузырьки в объеме оптической линзы, дефекты на окрашенной поверхности металлического корпуса электрического аппарата и т. п.

Относительно этих дефектов вводится ряд предположений.

Во‑первых, предполагается, что размеры отдельного дефекта достаточно малы по сравнению с объемом пространства, в котором подсчитывается их число. Это позволяет полагать дефекты точечными.

Во‑вторых, предполагают, что в малом объеме пространства вероятность появления более одного дефекта пренебрежимо мала.

В‑третьих, появление дефектов в непересекающихся объемах пространства взаимо независимо.

И, наконец, четвертое предположение сводится к тому, что вероятность появления дефектов в некотором объеме пространства не зависит от координат этого объема.

При этих предположениях количество дефектов $C$ в единице объема подчиняется закону Пуассона [3], который иногда называют законом «редких событий»[25]. Если обозначить $a$ математическое ожидание числа дефектов в единице объема (площади или длины), то вероятность найти $k$ дефектов в объеме $v$ выразится формулой Пуассона

$$\Pr\left\{k; va\right\} = \frac{(va)^k}{k!}\cdot e^{-va}.$$ (5.40)

При составлении контрольных карт числа дефектов объем, подвергаемый проверке, всегда выбирают постоянным. Необходимое для построения карты значение $va$ обычно находят на стадии предварительного исследования процесса, если только математическое ожидание числа дефектов заранее не задано. Здесь следует вспомнить из курса теории вероятностей [3], что для распределения Пуассона математическое ожидание и дисперсия равны $va$.

В технике контрольных карт [9] статистическое приближение к $va$ обозначают $\bar{c}$ и находят, как

$$\bar{c}=\left(\frac{1}{m}\right)\sum_{i=1}^m k_i,$$ (5.41)

где $m$ — число обследованных выбранных объемов продукции, $k_i$ — число дефектов в $i$‑м обследованном объеме.

Распределение Пуассона, как и биномиальное, может быть аппроксимировано нормальным распределением. Если такая аппроксимация принимается, то с риском «ложной тревоги» $\alpha= 0{,}00135$ верхняя контрольная граница должна отстоять от центральной линии на $3\sigma$. Поскольку для распределения Пуассона [3]

$$\sigma=\sqrt{va}$$ (5.42)

и с учетом статистической оценки (5.41) найдем центральную линию карты

$$C_L=\bar{c},$$ (5.43)

а также ее верхнюю контрольную границу

$$U_{CL}=\bar{c}+3\sqrt{\bar{c}}.$$ (5.44)

Разумеется, при наличии таблиц распределения Пуассона, или при возможности провести расчет распределения для заданного значения $\bar{c}$, нет необходимости использовать указанную аппроксимацию.

Стандарты, рекомендующие применение распределения Пуассона, обычно опираются на использование контрольной границы такой, чтобы вероятность ложной тревоги удовлетворяла соотношению  $\alpha_{UCL}\le0{,}001$. А вероятность ложного предупреждения предполагается не превосходящей $0{,}025$. При необходимости эти границы могут быть найдены аналогично тому, как это описано выше в п. 5.2.6.

Следует лишь иметь в виду, что в формулах для вероятностей Пуассона значение числа событий обозначено теперь $k$ , а параметр распределения обозначен $\bar{c}$ и равен $va$.

Кроме того, заметим, что неизменный контролируемый объем продукции $v$ в каждом конкретном варианте может назначаться произвольно. Например, при контроле изоляции провода можно в качестве контролируемой длины выбрать 5000 м или 2000 м, а при контроле дефектов оптических линз единицей продукции может быть 10 линз. При контроле сварных швов, примененных в качестве контактного соединения, можно выбрать, например, такую контролируемую единицу, как 250 мм, или если все швы имеют одинаковую форму и расположение, то можно единицей считать один или два шва.