5.4.2. Примеры построения $C$‑карт

Первый пример относится к предварительному исследованию числа дефектов эмалевой изоляции на отрезках провода. Каждый отрезок имел длину 4500 м. В таблице 5.4 приведены данные о количестве дефектов, обнаруженных в последовательно поступавших отрезках провода.

Таблица 5.4. Предварительный анализ числа дефектов изоляции на отрезках провода (длина каждого отрезка 4500 м)

Используя значение суммы всех дефектов и число отрезков ($m = 30$), найдем параметр $\bar{c}$ в соответствии с (5.41)

$$\bar{c}= \frac{1}{m}\cdot\sum_{i=1}^m k_i = \frac{1}{30}\cdot188\approx6{,}27.$$

Найденный параметр принимают в качестве средней линии контрольной карты.

А контрольные границы можно искать по‑разному.

В первом (заведомо не самом лучшем) приближении найдем верхнюю трехсигмовую границу, опираясь на приближение по теореме Муавра–Лапласа, как в (5.44). Верхняя трехсигмовая граница $C$‑карты окажется равной

$$U_{CL}=\bar{c}+3\sqrt{\bar{c}}=6{,}27+3\sqrt{6{,}27}\approx13{,}78.$$

Эта граница в предварительном исследовании (см. табл. 5.4) превзойдена в обследованных отрезках с номерами 14, 15, 16 и 27. На стадии предварительного анализа эти значения следует исключить из рассмотрения. Тогда сумма числа дефектов уменьшится до $119$ и новые значения центральной линии и верхней границы станут равны

$$\bar{c} = \frac{1}{m}\cdot\sum_{i=1}^m k_i = \frac{1}{26}\cdot119\approx4{,}58,$$

$$U_{CL} = \bar{c}+3\sqrt{\bar{c}}=4{,}58+3\sqrt{4{,}58}\approx11{,}0.$$

Теперь еще и отрезок №19 имеет значение числа дефектов, превосходящее новую верхнюю границу. Исключив и это значение, найдем новую сумму числа дефектов  $119-12 = 107$ и среднюю линию

$$\bar{c}=\frac{1}{25}\cdot107\approx4{,}28.$$

При такой средней линии верхнюю трехсигмовую границу

$$U_{CL}=4{,}28+3\sqrt{4{,}28}\approx10{,}48$$

можно принять, поскольку все 25 результатов предварительного исследования лежат ниже этой границы.

При более строгом подходе к выбору границы следует воспользоваться распределением Пуассона.

Напомним, что значение $\bar{c}$ совпадает с оценкой параметра $va$ распределения Пуассона.

Аналогично табл. 5.3 заполняют табл. 5.5 для значений параметра $va$, принимаемого в качестве средней линии $\bar{c}$.

Таблица 5.5. Вероятности Пуассона  $\psi (k;va)$ появления $k$ дефектов при $va=4{,}28$ и суммы для расчета вероятности ложной тревоги

Если принять риск «ложной тревоги» выхода за границу регулирования  $\alpha_{U_{CL}}=0{,}001$, то в соответствии с табл. 5.5 критическое число дефектов равно $13$. При этом действительный риск «ложной тревоги» в соответствии с последним столбцом табл. 5.5 будет равен $0{,}00051$. Тогда границу следует провести на 0,5 ниже критического числа и потому  $U_{CL}=12{,}5$.

При сравнеии этой границы с трехсигмовым значением ($10{,}48$), видно, что приближение Муавра–Лапласа слишком грубо и создает неоправданно жесткие требования к процессу.

Предупреждающую границу выбираем с риском «ложного предупреждения»  $\alpha_{U_{WL}}=0{,}025$. Пользуясь той же табл. 5.5, находим критическое значение числа дефектов $10$ с действительным значением риска $0{,}0125$. Что касается самой предупреждающей границы, то ее следует провести на уровне  $U_{WL} = 9{,}5$.

Второй пример: рассмотрим вопрос пересчета границ регулирования $C$‑карты. Такая задача возникает, если необходимо изменить контролируемый объем продукции. Пусть в условиях предыдущего примера требуется построить $C$‑карту для контроля дефектов изоляции с условием, что контролируемая длина отрезка провода равна не 4500 м, а 2500 м.

При условиях, определяющих распределение Пуассона (см. п. 5.4.1), неизменной величиной в конкретном исследовании остается отношение $\bar{c}/l$ , где $l$ — контролируемая длина. Тогда новое значение параметра распределения Пуассона  $va=\bar{c}$ при изменении длины с $l_1$ до $l_2$ определяется пропорцией

$$\bar{c}_2=\bar{c}_1\frac{l_2}{l_1}.$$

Поэтому при $l_1=4500$ и $l_2=2500$ параметр $va$ вместо $4{,}28$ станет равен $2{,}38$.

Используя распределение Пуассона с параметром $va=2{,}38$, найдем границу регулирования  $U_{CL} = 8{,}5$ с вероятностью ложной тревоги  $\alpha_{U_{CL}}=0{,}0008$ для критического числа дефектов $9$. (Как и в первом примере макисмальная вероятность ложной тревоги должна быть не более $0{,}001$).

Предупредительную границу следует выбрать на уровне  $U_{WL} =6{,}5$ при вероятности «ложного предупреждения» $\alpha_{U_{WL}}=0{,}011$ для критического числа дефектов $7$. Проверку назначений границ читатель сможет сделать, выполнив задания к гл. 5.