4.1. Линейные функции чувствительности

Функциональную связь отклонения выходного параметра $\Delta Y$ с набором отклонений  $\Delta X_i$ влияющих величин, т.е. функцию

$$\Delta Y=\Psi (\Delta X_1, \ldots, \Delta X_i, \ldots,\Delta X_n )$$ (4.1)

называют функцией чувствительности.

Если функция параметрической цепи $\varphi$ достаточно проста, то функцию чувствительности $\Psi$ можно получить непосредственно.

Самым простым видом функций параметрических цепей являются линейные функции, которые в частности описывают, как рассмотренные в п.3.2 линейные геометрические размерные цепи. В такой цепи замыкающий размер — это контролируемый выходной параметр $Y$. Он связан линейной функцией с размерами составляющих звеньев $X_i$. Тогда соответствующее уравнение параметрической цепи имеет известный вид

$$Y=\sum_{i=1}^{n}\xi_i \cdot X_{i},$$ (4.2)

где, как и выше в (3.2), $\xi_i$ — передаточные отношения.

Общее уравнение (3.7) для этой линейной функции примет форму

$$Y=Y_N + \Delta Y=\sum_{i=1}^{n} \xi_i \cdot (X_{i,N} + \Delta X_i) = \sum_{i=1}^{n} \xi_i \cdot X_{i,N} + \sum_{i=1}^{n} \xi_i \cdot \Delta X_i.$$ (4.3)

Из (4.2) следует

$$\sum_{i=1}^{n} \xi_i \cdot X_{i,N} = Y_{N}$$ (4.4)

Подставив (4.4) в (4.3) находим

$$Y_N + \Delta Y=\sum_{i=1}^{n} \xi_i \cdot (X_{i,N} + \Delta X_i) =Y_N + \sum_{i=1}^{n} \xi_i \cdot \Delta X_i.$$ (4.5)

Теперь из (4.5) выделяем уравнение чувствительности линейной функции

$$\Delta Y= \sum_{i=1}^{n} \xi_i \cdot \Delta X_i.$$ (4.6)

Это уравнение справедливо для всех линейных геометрических размерных цепей и оно означает, что передаточные отношения составляющих звеньев линейной размерной цепи суть передаточные отношения отклонений, а отклонение замыкающего звена есть линейная функция отклонений составляющих звеньев.

Рассмотрим более сложную функцию параметрической размерной цепи.

Для примера отыщем уравнение чувствительности постоянной времени $\tau$ цепи задержки полупроводникового реле времени [44]. Обычно такая цепь выполняется в виде последовательно соединенных резистора с сопротивлением $R$ и конденсатора с емкостю $C$.

При этом уравнение выходного контролируемого параметра (постоянной времени $\tau$), т.е. параметрическое уравнение функциональной цепи уже нелинейно:

$$\tau= \varphi(R, C)= R \cdot C.$$ (4.7)

При номинальных значениях сопротивления $R_N$ и емкости $C_N$ и при отклонениях $\Delta R$ и $\Delta C$ имеем

$$\tau= \tau_N +\Delta \tau= (R_N+ \Delta R) \cdot (C_N+ \Delta C)$$ (4.8)

или

$$\tau= \tau_N +\Delta \tau= R_N \cdot C_N+ R_N \cdot \Delta C +C_N \cdot \Delta R+ \Delta C \cdot \Delta R.$$ (4.9)

Учитывая, что  $\tau_N = R_N\cdot C_N$, найдем точное выражение функции чувствительности

$$\Delta \tau=\Psi (\Delta R, \Delta C) = R_N \cdot \Delta C +C_N \cdot \Delta R+ \Delta C \cdot \Delta R$$ (4.10)

Анализируя эту функцию, легко сделать вывод, что при малых отклонениях $\Delta R$ и $\Delta C$ можно пренебречь их произведением и получить простое линейное приближение функции чувствительности

$$\Delta \tau=\Psi (\Delta R, \Delta C) \cong R_N \cdot \Delta C + C_N \cdot \Delta R$$ (4.11)