4.2. Чувствительность к абсолютным и относительным отклонениям

Далее всюду предполагается, что функция $\varphi$ параметрической размерной цепи для выходного контролируемого параметра $Y$ зависящего от $n$ влияющих величин  $X_1,~\dots,~X_2,~\dots,~X_n$ задана аналитически в форме

$$Y= \varphi (X_1, \cdots ,X_i, \cdots, X_n).$$ (4.12)

Следует отметить, что в общем случае даже для геометрических размерных цепей эта функция может быть нелинейной. Пример такой размерной цепи был приведен выше в п. 3.2 для электромагнитного клапана.

В окрестности номинала выходной параметр $Y$ можно представить как

$$Y=Y_N + \Delta Y= \varphi \biggl( (X_{1,N} + \Delta X_1 ), \cdots ,(X_{i,N} + \Delta X_i ), \cdots, (X_{n,N} + \Delta X_n ) \biggr).$$ (4.13)

Отыскание функции чувствительности по заданному уравнению параметрической цепи чаще всего приходится рассматривать при некоторых предположениях. В частности, если предположить, что отклонения  $\Delta X_i$ всех влияющих параметров достаточно малы по сравнению с их номинальными значениями $X_{i,N}$, то можно применить разложение функции (3.6) в ряд Тейлора в окрестности точки $Y_N$. Это разложение функции многих переменных выражается следующим образом [8]:

$$Y=Y_N + \Delta Y = ~$$ (4.14)

$$\varphi [ (X_{1,N} ),\cdots , (X_{i,N} ), \cdots , (X_{n,N} ] +$$

$${} + \frac{\partial \varphi}{\partial X_1} \biggr\vert _{X_N} \cd... ...ts + \frac{\partial \varphi}{\partial X_n} \biggr\vert _{X_N} \cdot \Delta X_n+$$

$${} + \frac{1}{2!} \cdot \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac {\par... ...\partial X_k } \biggr\vert _{X_N} \Delta X_i \cdot \Delta X_k + \cdots + R_{m}.$$

Сформулированное выше допущение о том, что отклонения малы по сравнению с номиналами, позволяет пренебречь в полученном разложении остаточным членом $R_m$ и всеми членами, содержащими произведения отклонений, их квадраты и более высокие степени.

Пренебрежение членами, начиная со второго порядка малости, принято называть линеаризацией, потому что получаемое в результате уравнение линейно относительно отклонений. Оно имеет вид

$$Y_N + \Delta Y = ~$$ (4.15)

$$\varphi [ (X_{1,N} ),\cdots , (X_{i,N} ), \cdots , (X_{n,N} ] +$$

$${} + A_1 \cdot \Delta X_1 +\cdots + A_i \cdot \Delta X_i +\cdots + A_n \cdot \Delta X_n.$$

Величины $A_i$ определены в соответствии с (4.14) как

$$A_i = \frac{\partial \varphi}{\partial X_i} \biggr\vert _{X_N}.$$ (4.16)

Их называют коэффициентами влияния или коэффициентами чувствительности к абсолютным отклонениям. Эти коэффициенты являются обобщением выше введенных передаточных отношений $\xi$, применяемых в теории геометрических размерных цепей.

Поскольку в соответствии с (3.6) имеем

$$Y_N =\varphi\left( X_{1N}, \cdots , X_{iN}, \cdots , X_{nN}\right),$$ (4.17)

можно из (4.15) получить  $\Psi_\Delta$ — линейное приближение функции чувствительности к абсолютным отклонениям

$$\Delta Y = \Psi_{\Delta}\left(\Delta X_{1},\cdots,\Delta X_{i},\cdots,\Delta X_{n}\right)=$$ (4.18)

$$= A_1\cdot\Delta X_1+\cdots+A_i\cdot\Delta X_i+\cdots+A_n\cdot\Delta X_n=$$

$$= \sum_{i=1}^{n} A_i \cdot \Delta X_i.$$

Разумеется, для линейной функции $\varphi$ приближение  $\Psi_\Delta$ совпадает с точной функцией чувствительности $\Psi$.

Кроме абсолютных отклонений при анализе чувствительности и при задании допусков параметров серийно выпускаемых технических изделий используют относительные отклонения от номинальных значений. Относительные отклонения будем обозначать $\delta Y$, $\delta X_1,~\dots,~\delta X_i,~\dots,~\delta X_n$ и введем их определения следующими равенствами:

$$\delta Y = \frac{\Delta Y}{Y_N}$$ (4.19)

и

$$\delta X_i = \frac{\Delta X_i}{X_{i,N}}.$$ (4.20)

Очевидно, что наряду с функцией чувствительности к абсолютным отклонениям (4.18) должна существовать и функция чувствительности к относительным отклонениям  $\Psi_\delta$. Она связывает относительное отклонение выходного параметра с относительными отклонениями влияющих параметров

$$\delta Y = \Psi_{\delta}\left(\delta X_1, \cdots , \delta X_i, \cdots, \delta X_n\right).$$ (4.21)

Для получения конкретного вида функции (4.21) можно преобразовать тождественно уравнение (4.18), умножив каждый член правой части под знаком суммы на  $X_{i,N}/X_{i,N}=1$ и разделив обе части уравнения на $Y_N$. Такое преобразование приведет к функции

$$\frac{\Delta Y}{Y_{N}} = \sum_{i=1}^{n} A_i \frac {X_{i,N}}{Y_N} \cdot \frac {\Delta X_i}{X_{i,N}}.$$ (4.22)

Принимая во внимание определения (4.19) и (4.20), получим выражение

$$\delta Y = \sum_{i=1}^{n} \biggl ( A_i \frac {X_{i,N}}{Y_N} \biggr ) \cdot \delta X_{i}.$$ (4.23)

Появившиеся в этом равенстве множители вида

$$B_{i} = A_i \frac {X_{i,N}}{Y_N},$$ (4.24)

называются коэффициентами чувствительности к относительным отклонениям.

Теперь функция чувствительности к относительным отклонениям примет форму

$$\delta Y= \sum_{n=1}^{n} B_i \cdot \delta X_i$$ (4.25)

линеаризованного уравнения. В этом уравнении коэффициенты чувствительности на основании (4.24) и (4.16) можно представить следующим образом

$$B_{i} = \frac {\partial \phi} {\partial X_{i}} \biggr\vert _{X_N } \cdot \frac {X_{i,N}}{Y_N}.$$ (4.26)

При расчете допусков с целью обеспечения взаимозаменяемости всегда приходится использовать коэффициенты чувствительности к абсолютным или относительным отклонениям. И, хотя формально эти коэффициенты определяются просто, необходимо овладеть способом их получения, расчета и составления уравнений чувствительности.