B.1. Определения и термины

Представление коэффициентов чувствительности опирается на уравнение (4.12) параметрической размерной цепи

$$Y=\varphi \bigl(X_1, \cdots , X_i, \cdots , X_n \bigr).$$ (B.1)

А уравнение (4.26), задающее коэффициент чувствительности к относительным отклонениям, может быть представлено в форме

$$B_i=\biggl(\ \frac{1}{\varphi} \frac{\partial \varphi }{\partial X_i} \cdot X_i \biggr) \biggr\vert _{X_N}.$$ (B.2)

В соответствии с правилами дифференцирования логарифма функции имеет место равенство

$$\frac{\partial }{\partial x} \biggl(\ln(\varphi) \biggr) = \frac{1}{\varphi} \cdot \frac{\partial \varphi }{\partial x}.$$ (B.3)

Коэффициент чувствительности к относительным отклонениям может быть описан еще одним уравнением, если в (B.2) произвести замену в соответствии с (B.3)

$$B_i=\biggl(X_i \cdot \frac{\partial }{\partial X } \bigl(\ln \varphi \bigr) \biggr) \biggr\vert _{X_N}.$$ (B.4)

Таким образом, каждой дифференцируемой функции $\varphi(x)$ можно поставить в соответствие выражение коэффициента чувствительности к относительным отклонениям. Такие возможные сопоставления принято называть операторами чувствительности. Их обозначают $\Sens (\varphi)$ от латинского корня sens — чувство. На основании (B.2) оператор чувствительности представим как

$$\Sens (\varphi)=\frac{x}{\varphi} \cdot (\varphi)^{\prime}.$$ (B.5)

Другое представление — следствие (B.4) — даст оператор

$$\Sens (\varphi)=x\cdot\frac{\partial(\ln\varphi)}{\partial x}.$$ (B.6)

Для операторов чувствительности несложно отыскать ряд простых свойств. Можно, например, начать с отображения степени переменной $x^n$. Последовательность равенств

$$\ln(c \cdot x^n)=\ln c + n \cdot \ln x,$$ (B.7)

$$\frac {\partial }{\partial x} [\ln c + n \cdot \ln x ] = \frac{n}{x}$$ (B.8)

позволяет использовать (B.6). Это приводит к

$$x \cdot \frac {\partial}{\partial x} [\ln c + n \cdot \ln x] = x \cdot\frac{n}{x}=n.$$ (B.9)

Как следствие получается

$$\Sens [c \cdot x^n]=n.$$ (B.10)

Из последнего отображения при $n=\pm 1$ следует

$$\Sens [c \cdot x]=1$$ (B.11)

и

$$\Sens [c/x]=-1.$$ (B.12)

Аналогично находят отображения степени функции $\varphi^n$. Представление (B.6) дает

$$\Sens [c\cdot{\varphi^n(x)}]=x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\cdot(\ln[c\cdot{\varphi^n(x)}]).$$ (B.13)

После логарифмирования в (B.13) имеем

$$\Sens [c\cdot{\varphi^n(x)}]=n\cdot x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\cdot(\ln[c\cdot{\varphi(x)}]).$$ (B.14)

И, поскольку по определению (B.7)

$$x \cdot \frac{\partial}{\partial x}\cdot (\ln[ {\varphi (x)}])= \Sens [\varphi(x)],$$ (B.15)

искомое отображеие степени функции $\varphi^n$ примет вид

$$\Sens [c\cdot{\varphi^n(x)}]=n\cdot\Sens [\varphi(x)].$$ (B.16)

Оператор произведения функций в силу (B.6) и свойсттв логарифма дает сумму операторов самих функций

$$\Sens \left[(\varphi_1)\cdot(\varphi_2)\right]=\Sens [\varphi_1]+\Sens [\varphi_2].$$ (B.17)

Используя (B.17), свойства логарифма и полагая в (B.16) $n=-1$, находим отображение частного функций

$$\Sens \left[\frac{\varphi_1}{\varphi_2}\right]=\Sens [\varphi_1]-\Sens [\varphi_2].$$ (B.18)

Для отображения суммы функций сначала согласно (B.6) можно записать, что

$$\Sens \left[\varphi_1+\varphi_2\right]=x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\cdot\left(\ln(\varphi_1 +\varphi_2)\right).$$ (B.19)

После дифференцирования получается уравнение

$$\Sens \left[\varphi_1+\varphi_2\right]=\frac{x\cdot\varphi_1^{\prime}+x\cdot\varphi_2^{\prime}}{\varphi_1+\varphi_2}.$$ (B.20)

Использование определения (B.5) в числителе предыдущего равенства приводит отображение суммы функций к виду

$$\Sens \left[\varphi_1+\varphi_2\right]=\frac{\varphi_1\cdot\Sens [\varphi_1]+\varphi_2\cdot\Sens [\varphi_2]}{\varphi_1+\varphi_2}.$$ (B.21)

Очевидное свойство оператора чувствительности — равенство нулю для константы

$$\Sens [c]=0$$ (B.22)

приводит (B.21) в частном случае $\varphi_2=0$ к отображению

$$\Sens \left[\varphi(x)+c\right]=\frac{\varphi(x)}{\varphi(x)+c}\cdot\Sens (\varphi(x)).$$ (B.23)

Все отображения, найденные выше с помощью определений (B.5) и (B.6), и ряд других, которые легко докажет сам читатель, приведны далее в табл. B.1. Применение разных операторов чувствительности показано на примерах, следующих за таблицей.

Таблица B.1. Отображение некоторых функций в операторы чувствительности