B.2. Примеры использования

Для иллюстрации возможностей использования понятий операторов чувствительности и набора отображений в табл. B.1 ниже приводится несколько примеров.

В п. 4.3.1 получены непосредственно по определению коэффициенты чувствительности постоянной времени $\tau=R \cdot C$ резистивно‐емкостной электрической цепи. Имея отображение №5 произведение $R \cdot C$ отображается в сумму

$$\Sens [R] + \Sens [C].$$ (B.24)

Применив к каждому члену этой суммы отображение №2 из таблицы отображений, могут быть найден коэффициенты чувствительности $B_R=1$, $B_C=1$, а функция чувствительности к относительным отклонениям запишется в виде

$$\delta \tau= B_R \cdot \delta R + B_C \cdot \delta C =\delta R + \delta C.$$ (B.25)

Второй пример рассматривает процесс отыскания операторов чувствительности времени срабатывания $t_S$ полупроводникового реле времени с $RC$‐цепью задержки и относительным отклонением напряжения срабатывания $U_S$ порогового элемента. Пороговый элемент реализован, например, с помощью реле напряжения. Источник питания устройства стабилизирован с высокой точностью на уровне напряжения входа $U_E$. Анализ такого устройства был рассмотрен в п. 4.3.2. Основное уравнение 4.36 функциональной размерной цепи там получено в виде

$$t_S=\tau\cdot\ln\frac{U_E}{U_E - U_S}.$$

Используя оператор чувствительности произведения (№5 в таблице), получается

$$\Sens [t_S]=\Sens \left[\tau \cdot \ln \left( \frac{U_E}{U_E-U_S}... ...right] =\Sens [\tau] + \Sens \left[\ln \left(\frac{U_E}{U_E-U_S}\right)\right].$$ (B.26)

Воспринимая $\tau$ как переменную, отображение согласно строке №2 таблицы дает

$$\Sens [\tau]=1.$$ (B.27)

Отображение второго члена суммы в формуле (B.26) можно реализовать в соответствии со строкой №10 таблицы и получить

$$\Sens \left[ \ln \left(\frac{U_E}{U_E-U_S}\right) \right] = \frac{\Sens \left[\frac{U_E}{U_E-U_S}\right]}{\ln \left( \frac{U_E}{U_E-U_S}\right)}.$$ (B.28)

Преобразование числителя (B.28) осуществимо по строке №14 таблицы. Оно, поскольку, как и в п. 4.36, принято $U_E=constant$, дает

$$\Sens \left[\frac{U_E}{U_E-U_S}\right] =-\left(\frac{U_E}{U_E-U_S}\right).$$ (B.29)

Таким образом коэффициент чувствительности к относительным отклонениям порого напряжения срабатывания $B_{U_S}$ представим формулой

$$B_{U_S}=\Sens \left[\ln \left(\frac{U_E}{U_E - U_S}\right)\right]... ...ft(\frac{U_E}{U_E - U_S}\right)}{\ln\left(\frac{U_E}{U_E - U_S}\right)}\right).$$ (B.30)

Эта формула совпадает с выражением 4.39, полученным непосредственно по определению.

И наконец, рассмотрим еще один пример. Он демонстрирует использование операторов чувствительности и дальнейший анализ коэффициентов чувствительности к относительным отклонениям применительно к размерной цепи допусков.

Пусть рассматривается магнитный усилитель с самонасыщением (МУС), охваченный внешней положительной обратной связью. Известно, что крутизна характеристики МУС с обратной связью $K_F$ выражается через крутизну $K$ характкристики того же МУС без обратной связи и коэффициент $\beta$ обратной связи формулой

$$K_F=\frac{K}{1-\beta\cdot K}.$$ (B.31)

Используя операторы №6 и 12 из табл. B.1, коэффициент чувствительности величины $K_F$ к относительным отклонениям величины $K$ выводим в виде

$$B_K=\frac{1}{1-\beta\cdot K}$$ (B.32)

Коэффициент чувствительности величины $K_F$ к относительным отклонениям величины $\beta$, последовательно применив операторы строк №№5, 1 и 12 из табл. B.1, станет равным

$$B_{\beta}=\frac{\beta \cdot K}{1-\beta\cdot K}.$$ (B.33)

Искомая размерная цепь относительных допусков запишется так

$$\delta K_{F}=\frac{1}{1- \beta\cdot K}\cdot \delta K +\frac{\beta K}{1- \beta\cdot K}\cdot \delta \beta.$$ (B.34)

Если ввести понятие множителя $m$ по определению

$$m=\frac{1}{1- \beta\cdot K},$$ (B.35)

то уравнение (B.34) запишется в виде

$$\delta K_{F}=m \cdot \delta K +m\cdot \beta\cdot K\cdot \delta \beta.$$ (B.36)

Рассматривая интервал изменения $\beta\cdot K$ от 0 до 1, находим, что множитель $m$ от 1 стремится к $\infty$. Кроме того легко обнаружить равенство

$$m=\frac{K_F}{K}.$$ (B.37)

Теперь уравнение размерной цепи относительных допусков (B.34) можно, пользуясь (B.37), представить так

$$\delta K_{F}=m \cdot \delta K +(m-1)\cdot \delta \beta.$$ (B.38)

Эта последняя формула позволяет установить, что увеличение выигрыша в крутизне (B.37), когда $m>1$, неизбежно приводит к проигрышу в достижимой точности и стабильности крутизны характеристики МУС с положительной обратной связью.