4.3.2. Полупроводниковое реле времени

В простейшем исполнении полупроводниковое реле времени представляет собой реле напряжения, подключенное к источнику входного напряжения через цепь задержки. Независимо от конкретного исполнения и элементной базы реле напряжения является пороговым элементом $T_H$, который характеризуется порогом срабатывания $U_S$.

Рис. 4.1. Принципиальная схема элемента выдержки времени

Пусть на вход схемы, представленной на рис. 4.1, подано напряжение входа $U_E$. В момент времени $t=0$ переключается ключ $S$ и начинается заряд конденсатора $C$ через резистор $R$. Напряжение на конденсаторе $U_C$ изменяется в соответствии с известным уравнением переходного процесса [23]

$$u_C(t)= U_E\left(1-\exp(- \frac {t}{\tau})\right),$$ (4.34)

где, как и выше в п.4.3.1, постоянная времени $\tau=RC$.

Скачкообразное изменение напряжения на выходе $U_{01}$, т.е. срабатывание реле наступает в момент времени $t_S$, когда напряжение на конденсаторе становится равным пороговому напряжению $U_S$. Таким образом, для момента срабатывания справедливо уравнение

$$u_C(t_S)=U_S=U_E\left(1-\exp(-\frac{t_{S}}{\tau})\right).$$ (4.35)

Переходя к натуральным логарифмам после очевидных алгебраических преобразований найдем

$$t_S=\tau\cdot\ln\frac{U_E}{U_E - U_S}.$$ (4.36)

Итак, получено функциональное уравнение выходного параметра изделия. Теперь можно записать уравнения чувствительности выходного параметра к абсолютным и относительным отклонениям, т. е. уравнения вида (4.18) и (4.23).

Дифференцируя (4.36) по $\tau$ и подставив в производную номинальные значения всех параметров, что обозначено ниже добавлением в индексе буквы $N$, получим коэффициент чувствительности времени задержки $t_S$ к абсолютным отклонениям постоянной времени $\tau$:

$$A_{\tau}=\left.\frac{\partial t_S}{\partial \tau}\right\vert _N=\ln\frac{U_{E,N}}{U_{E,N}-U_{S,N}}.$$ (4.37)

Используя определение коэффициента чувствительности к относительным отклонениям (4.24) и формулу (4.36), получим выражение, определяющее коэффииент чувствительности времени срабатывания $t_S$ к относительным отклонениям постоянной времени $\tau$

$$B_\tau= A_{\tau}\cdot\frac{\tau_N}{t_{S,N}}=\left(\ln\frac{U_{E,N}}{U_{E,N}-U_{S,N}}\right)\cdot\frac{\tau_N}{t_{S,N}}=\frac{t_{S,N}}{t_{S,N}}=1.$$ (4.38)

Дифференцирование (4.36) по $U_S$, позволяет найти коэффициент чувствительности времени срабатывания $t_S$ к относительным отклонениям напряжения срабатывания  $\delta_{U_S}$ в соответствии с определениями (4.16) и (4.24):

$$B_{U_S} = \left.\frac{\partial t_S}{\partial U_S}\right\vert _N\cdot\frac{U_{S_N}}{t_{S_N}}=$$ (4.39)

$$= \frac{\tau_N}{U_{E_N}-U_{S_N}}\cdot\frac{U_{S_N}}{\tau_N\cdot\ln\frac {U_{E_N}}{U_{E_N}-U_{S_N}} }=$$

$$= \frac{U_{S_N}}{(U_{E_N}-U_{S_N})\cdot\ln\frac{U_{E_N}}{U_{E_N}-U_{S_N}}}.$$

Аналогично, дифференцируя (4.36) по $U_E$, в соответствии с определениями (4.16) и (4.24) можно получить коэффициент чувствительности времени срабатывания к относительным отклонениям напряжения входа  $\delta U_E$:

$$B_{U_E} = \left.\frac{\partial t_S}{\partial U_E}\right\vert _N\cdot\frac{U_{E_N}}{t_{S_N}}=$$ (4.40)

$$= \frac{-\tau_N\cdot U_{S_N}}{(U_{E_N}-U_{S_N})\cdot U_{E_N}}\cdot\frac{U_{E_N}}{\tau_N\cdot\ln\frac{U_{E_N}}{U_{E_N}-U_{S_N}}}=$$

$$= \frac{-U_{S_N}}{(U_{E_N}-U_{S_N})\cdot\ln\frac{U_{E_N}}{U_{E_N}-U_{S_N}}}.$$

Если ввести величину относительного порогового напряжения как

$$\tilde{u} = \frac{U_S}{U_E},$$ (4.41)

то выражения коэффициентов чувствительности предстанут в виде

$$-B_{U_S} = B_{U_E} = \frac {\tilde{u}_N}{(1-\tilde{u}_N) \cdot \ln(1-\tilde{u}_N)},$$ (4.42)

где  $\tilde{u}_N$ — номинальное значение относительного порогового напряжения:

$$\tilde{u}_N = \frac{U_{S_N}}{U_{E_N}}.$$ (4.43)

Такое представление позволяет до назначения допусков провести анализ важных обстоятельств влияния номиналов на коэффициенты чувствительности. Если выбор номиналов влияет на коэффициенты чувствительности, то возможное увеличение этих коэффициентов может ужесточать требования к допускам.