11.4. Расчет оперативной характеристики двухступенчатого плана контроля

Теперь можно приступить к выводу формулы расчета оперативной характеристики двухступенчатого выборочного контроля. Сначала сформулируем логическое условие приемки партии. Партия принимается тогда и только тогда, когда число обнаруженных дефектов в первой выборке $d1$ не превосходит первого приемочного числа $Ac1$ или $d1$ лежит между первым приемочным и первым браковочным и суммарное число дефектов первой и второй выборки $d1+d2$ не превосходит второго приемочного числа. Используя символы теории множеств, можно записать формулу события приемки партии в виде

$$B=(d1\le Ac1)\cup((Ac1<d1<Re1)\cap(d1+d2 \le Ac2)).$$

Вероятность этого сложного события можно выразить через другие вероятности так

$$\begin{split} \Pr\{B\} &=\Pr\{d1\le Ac1\} + \Pr\{(Ac1<d1<Re1)... ...left[\Pr\{d1\}\cdot\sum_0^{Ac2-d1}\Pr\{d2\}\right]. \end{split}$$ (11.22)

Эта вероятность, очевидно, зависит от доли дефектных изделий и является искомой оперативной характеристикой плана двухступенчатого выборочного контроля

$$L(p)=\Pr(B).$$ (11.23)

Значения вероятностей $\Pr\{d1\}$ или $\Pr\{d2\}$ можно выразить через гипергеометрические, или биномиальные вероятности, или с помощью приближения вероятностями Пуассона (см. раздел 10.7).

Если принять в качестве приближения аппроксимацию Пуассона, то вместо (11.23) получим

$$L(p)=\sum_{d1=0}^{Ac1}e^{-n1\cdot p}\cdot\frac{(n1\cdot p)^{d1}}{... ...dot \sum_{d2=0}^{Ac2-d1}e^{-n2\cdot p}\cdot\frac{(n2\cdot p)^{d2}}{d2!}\biggr].$$ (11.24)

На рисунке 11.9 приведены оперативные характеристики одноступенчатого и двухступенчатого планов контроля с численностью каждой выборки 100 и с приемочным числом на первой ступени 2. Вторая ступень осуществляется, если число дефектных изделий в первой выборке оказывается больше двух и менее пяти^11.2. Расчет выполнен по формулам (11.6) и (11.24). Как видно, двухступенчатый план позволяет эффективно уменьшать риск изготовителя. Так для приемлемого уровня качества риск поставщика снижается с 8% на одноступенчатом плане до 3% при переходе к двухступенчатому плану^11.3.

Рис. 11.9. Оперативные характеристики одноступенчатого и двухступенчатого планов контроля

Уменье вычислять оперативные характеристики позволит рассмотреть вопрос о, так называемых, «последующих оценках» планов выборочного контроля.