6.3. Примеры построения и использования усеченной V‑маски на cusum‑карте

Для иллюстрации процедуры применения усеченной V‑маски ниже рассмотрен пример.

Проведен контроль выборок реле напряжения с номинальным значением  $U_$ном$=18~$В. Численность каждой выборки составляла $n=5$ реле. По результатам контроля для каждой выборки вычислялось среднее арифметическое значение напряжения срабатывания. Эти значения средних арифметических представлены в столбце $x$ табл. 6.1. В предварительном исследовании было обнаружено стабильное значение стандартного отклонения напряжения срабатывания  $\sigma=0{,}9~$В. Поэтому стандартное отклонение среднего арифметического выборки согласно (2.11) можно найти как

$$\sigma_e=\sigma/\sqrt{n}=0{,}9/\sqrt{5}\approx0{,}4.$$

Таблица 6.1. Вычисления для cusum‑метода контроля напряжения срабатывания реле напряжения с помощью усеченной V‑маски

Примечание: $x$ — среднее арифметическое очередной выборки; $T$ — целевое значение, принятое равным номиналу ( $T=U_$ном$=18~$В$)$.

Используя правила масштабирования, на бумаге можно построить усеченную V‑маску. С учетом определения (6.2) и значения  $\sigma _e=0{,}4$ интервал решений маски окажется равным  $H=5\cdot0{,}4=2$. Теперь сама V‑маска будет выглядеть как на рис. 6.5.

Рис. 6.5. Усеченная V‑маска для контроля процесса с помощью cusum‑графика при условии, что стандартное отклонение среднего арифметического выборки принято равным 0,4

В соответствии с выбранными масштабами cusum‑бумаги на рис. 6.6 показан график кумулятивных сумм первых 13 выборок. А на рис. 6.7 на график наложен контур усеченной V‑маски так, что опорная точка O совмещена с последней точкой cusum‑графика.

Рис. 6.6. График кумулятивных сумм для первых 13 экспериментальных точек

Рис. 6.7. График кумулятивных сумм для первых 13 экспериментальных точек с маской

Как видно на рис. 6.7 все точки графика лежат в области между разрешающими линиями. Процесс на этом уровне следует признать находящимся в управляемом состоянии. Продолжение наблюдений вплоть до 15‑й точки отображено вместе с маской на рис. 6.8.

Рис. 6.8: График кумулятивных сумм с учетом следующих двух наблюдений с наложенной маской

Расположение двух точек (точки 3 и 4) на рис. 6.8 свидетельствует о нарушении управляемости процесса производства — точка 3 лежит на разрешающей линии, а точка 4 расположена вне поля маски.

Использование графика кумулятивных сумм с усеченной V‑маской достаточно кропотливое занятие.

И надо иметь ввиду, что при построении маски может изменяться угол наклона разрешающих линий.

На каждом шаге разрешающая диния возрастает на одно и тоже значение, которое называют опорным сдвигом. Опорный сдвиг обозначают $F$. Его вычисляют как

$$F = f \cdot \sigma_e,$$ (6.3)

где $f$ — стандартизованный опорный сдвиг, а $\sigma_e$ — стандартное отклонение среднего арифметического выборки.

Помимо значений $f$ и $h$, которые были использованы для маски общего назначения, стандартом указаны значения $f$ и $h$ для особых вариантов построения маски, когда требуется обнаруживать малые отклонения среднего или, наоборот, важно реагировать на достаточно большие отклонения (см. табл. 6.2).

Таблица 6.2. Рекомендации стандарта для построения V‑масок

Построение маски для обнаружения больших сдвигов выполнено, используя нижеприведенные данные

$$\sigma_e =0{,}4;$$

$$h =2{,}5;$$

$$f =1;$$

$$H =1;$$

$$F =0{,}4;$$

$$10F =4.$$

На рисунке 6.9а изображена соответствующая маска. А данные графика кумулятивных сумм, взятые из табл. 6.1, с наложенной маской (см. рис. 6.9б) демонстрируют, что процесс еще управляем, если допустить сдвиг среднего больший чем  $1{,}5\sigma_e$.

Рис. 6.9. Пример создания и использования V‑маски для больших сдвигов среднего арифметического: а) построение маски; б) маска над графиком кумулятивных сумм табл. 6.1, примененная к точке 15‑й выборки

Пример использования маски для обнаружения малых сдвигов проведен с маской, которая выполнена для набора данных:

$$\sigma_e =0{,}4;$$

$$h = 5;$$

$$f = 0{,}25;$$

$$H =1;$$

$$F = 0{,}2;$$

$$10F = 2.$$

Значения стандартного интервала решений $h$ и стандартного опорного сдвига $f$ в этом случае соответствуют первой строке табл. 6.2.

На рисунке 6.10а изображена соответствующая маска. Если использовать эту маску к тому же графику кумулятивных сумм в 15‑й выборке, то обнаруживается много точек вне разрешающей линии — на рис. 6.10б) это точки с 3‑й по 10‑ю выборки. Очевидно, можно было обнаружить, что и на более ранних выборках уже произошел сдвиг, требующий внимания. Дйствительно, та же маска, будучи применена к 13‑й выборке (см. рис. 6.10в) не накрывает точки графика с 1‑й по 4‑ю. Это значит, что уже на 13‑й выборке сдвиг процесса оказался тревожным.

Рис. 6.10. Пример создания и использования V‑маски для малых сдвигов среднего арифметического: а) построение маски; б) маска над графиком кумулятивных сумм табл. 6.1, примененная к точке 15‑й выборки; в) маска над тем же графиком, приложенная к точке 13‑й выборки

Обнаружение малых сдвигов среднего значения процесса с помощью метода кумулятивных сумм более эффективно, чем таковое с помощью карт Шухарта. Но важно еще знать, что, как показывает опыт [20,26,27,28,33], при небольших объемах выборки и особенно при анализе результатов однократных измерений существует специально разработанный метод экспоненциально взвешенных скользящих средних: EWMA‑контрольных карт. Этот метод будет рассмотрен далее в главе 7.

Возвращаясь к методу кумулятивных сумм, необходимо заметить, что саму маску следует вырезать из бумаги. Рекомендуется реально применять достаточно плотную бумагу, которая не будет быстро изнашиваться. На бумажной маске следует написать ее параметры, чтобы не пробовать ее применять при изменении стандартного отклонения или при стремлении обнаруживать сдвиг с разными требованиями к его уровню. Оператор должен быть безупречно внимателен при нанесении очередной точки на бланк карты и при совмещении опорной точки маски с точкой вновь полученной выборки. Не менее важно строгое горизонтальное расположение наложенной маски.

Если нет требований обязательной визуализации процесса изменения кумулятивной суммы, то, применяя персональный компьютер, можно организовать вычисления табличного метода кумулятивных сумм и принимать решения без построения чертежа и без маски.