6.4. Табличный вариант cusum-метода контроля

Табличный метод контроля кумулятивных сумм предполагает раздельный анализ увеличения и уменьшения среднего арифметического выборок по сравнению с целевым значением.

Кумулятивные суммы увеличения среднего арифметического выборок в стандарте именуют cusum‑верхняя. И, соответственно, имя cusum‑нижняя относится к уменьшающим суммам.

В отличие от графического метода опорное начальное значение $G$ в (6.1) в табличном методе по разному представляют для верхней и нижней сумм.

Для очередного $i$‑го значения $C_i$ верхней увеличивающей суммы при получении среднего арифметического $X_i$ очередной $i$‑й выборки используют формулу

$$C_i=C_{i-1}+\left(X_i-(T+f\cdot\sigma_e)\right),$$ (6.4)

где $C_{i-1}$ — предыдущее значение кумулятивной суммы; $T$ — целевое значение; $\sigma_e$ — стандартное отклонение среднего арифметического и $f$ — стандартизованный опорный сдвиг.

Теперь из очередного значения вычитается не просто целевое значение $T$, а верхнее начальное значение  $G_B=T+f\cdot\sigma_e$. Стандартизованный опорный сдвиг $f$ для соответствия маске общего назначения принимают равным 0,5 (см. табл. 6.2).

Формула (6.4) остается справедливой, пока соблюдается неравенство

$$\left(X_i-(T+f\cdot\sigma_e)\right) > 0.$$ (6.5)

Если это неравенство не соблюдается, очередное значение $C_i$ кумулятивной суммы обнуляется.

Аналогично для нижней кумулятивной суммы, т. е. для обнаружения недопустимого понижения среднего арифметического, применяют формулу

$$C_i=C_{i-1}+\left(X_i-(T-f\cdot\sigma_e)\right),$$ (6.6)

И, если

$$\left(X_i-(T-f\cdot\sigma_e)\right) \ge 0,$$ (6.7)

то очередное значение уменьшающей кумулятивной суммы обнуляется.

Для иллюстрации описанного способа контроля далее рассмотрено конкретное использование табличной процедуры к тем данным, которые обработаны графически выше в примере п. 6.3.

Таблица 6.3 составлена в соответствии с формулами (6.4)–(6.7). Исходные данные контроля средних арифметических в этой таблице совпадают с данными табл. 6.1.

Таблица 6.3. Пример расчета верхней и нижней кумулятивных сумм для табличного метода контроля нарушений процесса

Принцип использования табличного метода подразумевает, что выходу процесса из управляемого состояния соответствует событие, когда абсолютное значение верхней или нижней кумулятивной суммы сравняется или превзойдет интервал решений  $H=h\sigma_e$. Иными словами, показателем выхода процесса из управляемого состояния является соблюдение одного из неравенств

$$C_i \ge H$$ (6.8)

или

$$C_i \le -H.$$ (6.9)

Просматривая табл. 6.3, значения в столбцах верхней и нижней кумулятивных сумм следует сравнить с  $H=h\sigma_e=5\cdot0{,}4=2$.

Такое сравнение обнаруживает, что в результате 16‑го наблюдения соблюдено неравенство (6.8)): cusum‑верхняя равная 2,06 превзошла интервал решений $H=2$. Это свидетель недопустимого увеличения среднего арифметического.

Очевидное усложнение вычислений для табличного метода не может препятствовать его применению потому, что любые компьютерные приложения, реализующие программы электронных таблиц, позволяют ограничить функцию оператора лишь внесением экспериментальных данных. Проверка неравенств (6.5) и (6.7), а также (6.8) и (6.9) в программах электронных таблиц Microsoft Excel^® или LibreOffice Calc^® и внесение результатов в таблицу метода реализуется логическими функциями ЕСЛИ и НЕ. Именно так и была реализована табл. 6.3.

Читателю для овладения табличным и графическим методами кумулятивных сумм могут помочь вопросы и задачи, размещенные в п. 6.5.