6.2. V‑маски для графика на cusum‑карте

Практическое распространение получили усеченные маски. На рисунке 6.1 показана усеченная V‑маска. Она приложена к последней полученной точке графика кумулятивных сумм. На этом рисунке все предыдущие точки графика лежат внутри маски. Это означает, что процесс находится в управляемом состоянии.

Рис. 6.1. График кумулятивных сумм с наложненой усеченной V‑маской: опорная точка O маски совмещена с точкой последнего полученного значения кумулятивной суммы

На рисунке 6.2 приведен пример, когда несколько точек (или даже всего одна) оказались вне границ маски. Это означает, что процесс вышел из состояния управляемости.

Рис. 6.2. График кумулятивных сумм с наложенной усеченной V‑маской: опорная точка O маски совмещена с точкой последнего полученного значения кумулятивной суммы. Процесс вышел из управляемого состояния: две точки не находятся внутри маски

Стандартом рекомендуется по возможности выбрать численность подгруппы (т. е. выборки) $n=5$. Наиболее употребительный вариант усеченной V‑маски представлен на рис. 6.3.

Рис. 6.3. Усеченная маска общего назначения

Опорная точка O усеченной V‑маски является началом отсчета. Каждый вертикальный отрезок OB и OC называют интервалом решений и каждый из них имеет длину, обозначаемую H. Для изображенного на рис. 6.3 варианта

$$H=5\sigma_e,$$ (6.2)

где $\sigma_e$ — стандартное отклонение среднего арифметического выборки (или подгруппы). В (6.2) использован множитель 5, который в общем случае может быть и другим. Его обозначают $h$ и называют стандартным интервалом решений. Значение $h=5$ относится к варианту наиболее употребительных масок.

При использовании усеченной маски опорную точку O совмещают с последней полученной точкой графика кумулятивных сумм (см. примеры на рис. 6.1 и 6.2). При этом горизонтальная линия $EO$ должна быть параллельной оси абсцисс графика кумулятивных сумм. Эта линия (пунктир на рис. 6.3) называется линией начала отсчета. Отрезки $EA$ и $ED$, перпендикулярные линии $EO$, в маске общего назначения имеют длину $2H$.

Наклонные отрезки $AB$ и $DC$ называют разрешающими линиями. Если все точки $cusum$‑графика расположены между этими линиями, как например на рис. 6.1, процесс признается сохранившим управляемость.

Напомним, что, как и для всех контрольных карт, предполагается, что процесс обладает свойством воспроизводимости — постоянством стандартного отклонения $\sigma$ контролируемого показателя единиц продукции. Это свойство должно быть подтверждено предварительным исследованием. Способы получения оценки $\sigma$ рассмотрены в приложении A, а также выше в п. 2.3. Если оценка $\sigma$ стандартного отклонения процесса найдена, то для выборки численности $n$ стандартное отклонение среднего арифметического выборки

$$\sigma_e=\sigma^*/\sqrt{n}.$$

Параметры V‑маски рис. 6.3 рекомендуется применять, если сдвиг среднего, который следует обнаружить составляет от $0{,}75$ до  $1{,}5\sigma_e$. Если требуется обнаруживать меньший сдвиг, то самым эффективным средством является увеличение численности выборки.

График кумулятивных сумм строят на бумаге и масштабы по осям выбирают так, чтобы на горизонтальной оси могло бы появиться 20–25 отметок на равных расстояниях. Эти отметки соответствуют номерам $i$ выборок (подгрупп). Вертикальная ось масштабируется так, чтобы на высоте листа умещалось 30–40 делений. При этом цена одного деления назначается так, чтобы 1 единица шкалы соответствовала прмерно значению стандартного отклонения среднего арифметического выборок $\sigma_e$.

Для сохранения масштабов стандарт рекомендует разработать образец $cusum$‑бумаги. Такая бумага позволяет легко воспроизводить контрольную карту, если очередная карта завершена. С помощью разработанной $cusum$‑бумаги можно воспроизводить и V‑маску.

Пример такой бумаги для альбомного листа формата А4 изображен на рис. 6.4. В альбомной рамке высотой 180 мм и шириной 250 мм на расстоянии 10 мм проведены вертикальные линии. Каждая вертикальная линия служит для отображения очередного значения кумулятивной суммы. Горизонтальные линии проведены на расстоянии 5 мм друг от друга. Как указано выше, при отображении cusum‑графика единица шага по вертикали соответствует примерно значению стандартного отклонения среднего арифметического выборки $\sigma_e$.

Рис. 6.4. Образец cusum‑бумаги